Enunciado

Nos problemas 55-58, encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.

56. d y d x + y = f x ,   f x = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1 - 1 ,   x > 1 , no qual y 0 = 1 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

O problema que surge aqui é que f x dependerá do valor de x , certo? Sendo assim, precisaremos resolver DUAS equações diferenciais, uma para cada intervalo dado. O primeiro intervalo é para 0 ≤ x ≤ 1 . Nesse caso f x = 1 , logo:

d y d x + y = f x = Q x

d y d x + y = 1

E então tiramos que:

P x = 1

Q x = 1

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ 1 d x . ∫ e ∫ 1 d x d x + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ d x = x

Substituindo, teremos:

y = e - x . ∫ e x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ e x d x = e x

Substituindo, teremos:

y = e - x . e x + c

∴ y = 1 + c 1 e x

Esse é o resultado para 0 ≤ x ≤ 1 , beleza? Top!

Passo 4

O segundo intervalo é para x > 1 . Nesse caso f x = - 1 , logo:

d y d x + y = f x = Q x

d y d x + y = - 1

E então tiramos que:

P x = 1

Q x = - 1

Show!

Passo 5

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ 1 d x . - ∫ e ∫ 1 d x d x + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ 1 d x = x

Substituindo, teremos:

y = e - x . - ∫ e x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ e x d x = e x

Substituindo, teremos:

y = e - x - e x + c

∴ y = - 1 + c 2 e x

Esse é o resultado para x > 1 , beleza? Top!

Passo 6

Para resumirmos, temos como resultado o seguinte:

y = 1 + c 1 e x , 0 ≤ x ≤ 1     - 1 + c 2 e x ,   x > 1

No entanto a questão nos dá uma condição inicial, que é y 0 = 1 . Para a primeira constante, teremos:

1 = 1 + c 1 e 0

∴ c 1 = 0

Agora para c 2 teremos que aplicar x = 1 igualando os dois resultados de y , já que descobrimos c 1 . Saca só:

- 1 + c 2 e x = 1 + 0

c 2 e 1 = 2

∴ c 2 = 2 e

E agora que encontramos c 1 e c 2 podemos resumir nosso resultado final (AMÉM) da seguinte forma:

y = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1     2 e e x - 1 ,   x > 1

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? 😉

Resposta

y = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1     2 e e x - 1 ,   x > 1

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