Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 15-20: d y d x - x y = x y ( 0 ) = - 6

Passo 1

A EDO em questão e do tipo linear. Essa tem um formato de:

y ` + P x y = f

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( x ) d x

e depois aplicar isso a seguinte expressão:

y = 1 v x ∫ f x ⋅ v x d x + c

Passo 2

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P x = x

f =x

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ x d x = e x 2 / 2

v = e - x 2 / 2

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

y = 1 e x 2 / 2 ∫ x ⋅ e x 2 / 2 d x + c

Resolvendo a integral por uma substituição simples, no qual:

∫ x ⋅ e x 2 / 2 d x

u = x 2 / 2 d u = x d x

∫ e u d u = e u ⇒ e x 2 / 2 + c

Assim:

y = 1 e x 2 / 2 e x 2 / 2 + c

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, y ( 0 ) = - 6 , temos que:

y = 1 e x 2 / 2 e x 2 / 2 + c

y 0 = 1 e 0 e 0 + c = - 6

c = - 7

Resposta

Então o resultado será:

y = 1 e x 2 / 2 e x 2 / 2 - 7

ou

y = 1 - 7 e x 2

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