Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

35. d r d θ + r . sec ⁡ θ = cos ⁡ θ

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d r d θ + P . r = Q

No qual P e Q são funções APENAS de θ . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

r = e - ∫ P d θ . ∫ e ∫ P d θ . Q d θ + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d r d θ + r . sec ⁡ θ = cos ⁡ θ

E então tiramos que:

P θ = sec ⁡ θ

Q θ = cos ⁡ θ

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

r = e - ∫ P d θ . ∫ e ∫ P d θ . Q d θ + c

r = e - ∫ sec ⁡ θ d θ . ∫ e ∫ sec ⁡ θ d θ . cos ⁡ θ d θ + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Aqui vale ressaltar que o resultado é tabelado, tudo bem? Substituindo:

r = e - ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ . ∫ e ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ . cos ⁡ θ d θ + c

Utilizando a seguinte propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

r = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - 1 . ∫ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ . cos ⁡ θ d θ + c

Como sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ , se simplificarmos, teremos:

r = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - 1 . ∫ 1 + s e n   θ d θ + c

r = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - 1 . ∫ d θ + ∫ s e n   θ d θ + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essas últimas integrais que apareceram aí para complicar nossa vida. A primeira integral é:

∫ d θ

O resultado é beeeeem tranquilo, saca só:

∫ d θ = θ

Ok, primeira integral resolvida. A segunda integral é:

∫ s e n   θ d θ

O resultado dessa integral também é bem conhecido e tabelado, olha só:

∫ s e n   θ d θ = - cos ⁡ θ

Ok, segunda integral resolvida!

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

r = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - 1 . ∫ d θ + ∫ s e n   θ d θ + c

r = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - 1 . θ - cos ⁡ θ + c

∴ r = 1 sec ⁡ θ + tan ⁡ θ θ - cos ⁡ θ + c sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

r = 1 sec ⁡ θ + tan ⁡ θ θ - cos ⁡ θ + c sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

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