Enunciado

Nos problemas 5-8, verifique que a função indicada é uma solução para a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0 ;     y = c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) + c 2 . s e n ln ⁡ x ,   x > 0

Passo 1

Queremos verificar que y = c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) + c 2 . s e n ln ⁡ x é uma solução para a equação diferencial x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

Primeiramente, vamos substituir y por c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) + c 2 . s e n ln ⁡ x na nossa equação e verificar que a igualdade é verdadeira.

x 2 ( c 1 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 . s e n ln ⁡ x   ) ' ' + x ( c 1 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 . s e n ln ⁡ x   ) ' + c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) + c 2 . s e n ln ⁡ x   = 0

Usando as técnicas de derivação lá de cálculo 1, sabemos que a primeira derivada de y vale:

c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) + c 2 . s e n ln ⁡ x   ' = - c 1 . s e n ln ⁡ x x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x x

Enquanto a segunda derivada vale:

- c 1 . s e n ln ⁡ x x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x x ' = - 1 x 2 . c 1 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 . s e n ln ⁡ x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x - c 1 . s e n ln ⁡ x

Agora é só a gente substituir essas derivadas na equação, beleza?

Passo 2

Vamos substituir as derivadas que encontramos na equação diferencial:

x 2 - 1 x 2 . c 1 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 . s e n ln ⁡ x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x - c 1 . s e n ln ⁡ x + x - c 1 . s e n ln ⁡ x x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x x + c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) + c 2 . s e n ln ⁡ x   = 0

Cortando o x ² e o x :

- c 1 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 . s e n ln ⁡ x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x - c 1 . s e n ln ⁡ x + - c 1 . s e n ln ⁡ x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) + c 2 . s e n ln ⁡ x   = 0

Agora vamos manipular fazendo os joguinhos de sinal:

- c 1 . cos ⁡ ln ⁡ x - c 2 . s e n ln ⁡ x - c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 1 . s e n ln ⁡ x - c 1 . s e n ln ⁡ x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) + c 2 . s e n ln ⁡ x   = 0

Reorganizando os termos, olha só o que a gente tem:

- c 1 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 1 . cos ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) - c 2 . s e n ln ⁡ x + c 2 . s e n ln ⁡ x - c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 . cos ⁡ ln ⁡ x + c 1 . s e n ln ⁡ x - c 1 . s e n ln ⁡ x = 0

Juntando os termos iguais:

0 = 0

Iháá, a igualdade é verdadeira mesmo hehee

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. 4-t 2 y ' + 2 t y = 3 t 2 , y 1 = - 3
Em cada um dos problemas de 17 a 20, desenhe um campo de direções e desenhe (ou esboce) gráficos de diversas soluções da equação diferencial dada. Descreva como as soluções parecem se comportar quando