Enunciado

Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado.

D 2 - 4 D - 12

Passo 1

E aí cara, tudo bom??

Vamos lá matar esse probleminha

Queremos fatorar operadores diferenciais, ou seja, vamos decompor o termo que foi dado em um produto de fatores, blz??

Para isso, vamos encontrar as raízes: os valores de D que fazem o operador diferencial zerar

Juro que já to terminando a explicação, só mais uma coisinha hehehe

Temos que lembrar que se um polinômio tem raízes D = 1 e D = 2 , por exemplo, ele pode ser escrito como

D - 1 . ( D - 2 )

Agora e se uma das raízes for negativa? Tipo D = 1 e D = - 2 ? Aí ele pode ser escrito assim:

D - 1 . D - - 2 = D - 1 . ( D + 2 )

Agora sim, bora lá!

Passo 2

O operador diferencial aqui é

D 2 - 4 D - 12

Vamos igualar isso a 0 para encontrarmos as raízes:

D 2 - 4 D - 12 = 0

Calculando o :

∆ = - 4 2 - 4.1 . ( - 12 )

∆ = 16 + 48 = 64

Então:

D = - - 4 ± 64 2 = 4 ± 8 2

Então temos duas raízes: D = 6 e D = - 2 , logo, podemos fatorar nosso operador assim:

D - 6 . D + 2

E é issoooo

Resposta

D - 6 . D + 2

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