Enunciado

Nos Problemas 53-56, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas.

55. y ' ' + y = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' π 2 = 2

Passo 1

Então pessoal, o formato das equações diferenciais dessa seção é o seguinte:

a y ' ' + b y ' + c y = 0

O que precisamos fazer é uma substituição aonde y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , ou seja, trocamos a ordem da derivada por expoentes e encontramos as raízes da nossa função característica, que é uma função que depende de m . Uma vez que encontramos as raízes teremos três resultados possíveis, assim como demonstrado e discutido na seção em questão.

Vamos colocar essa discussão em prática para vermos como funciona isso. Vem comigo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y ' ' + y = 0

Fazendo as substituições, teremos:

m 2 + 1 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 0 ± 0 - 4 . 1 . 1 2 . 1 = ± - 4 2

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = 0 + i

m 2 = a - b i = 0 - i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução:

y = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

Substituindo as raízes, teremos:

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x

Shooow!

Passo 3

Isso por si só já é um resultado pra gente, no entanto o enunciado nos dá condições de contorno, ou seja, pontos ordenados para descobrirmos quanto as constantes valem! As condições são:

y ' 0 = 0 ,   y ' π 2 = 2

Derivando nossa solução, teremos:

y ' = - c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x

Aplicando a primeira condição, teremos:

0 = 0 + c 2

c 2 = 0

Substituindo esse valor na solução e aplicando a segunda condição, teremos:

2 = - c 1

c 1 = - 2

Dessa forma, temos que a solução do nosso problema para as condições dadas é a seguinte:

y = - 2 cos ⁡ x

E é isso, galera!

Resposta

y = - 2 cos ⁡ x

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