Enunciado

Nesse problema, indicamos um modo de mostrar que, se r = r1 é uma raiz de multiplicidade s do polinômio característico Z(r), então e^r1t, te^r1t, . . . t^(s—1)e^r1t são soluções da Eq. (1). Esse problema estende para equações de ordem n o método para equações de segunda ordem dado no Problema 22 da Seção 3.4. Começamos da Eq. (2) no texto

e diferenciamos repetidas vezes em relação a r, fazendo r = r1 depois de cada diferenciação.

Mostre que e^r1t, te^r1t, . . . t^(s—1)e^r1t são soluções da Eq. (1).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser considerar a equação dada no nosso enunciado

L e r t = e r t   Z ( r )  

L e r t = e r t a 0 r n + a 1 r n - 1 + … + a n - 1 r + a n

L e r t =   a 0 d n d t n e r t +   a 1 d n - 1 d t n - 1 e r t + … +   a n - 1 d d t e r t +   a n e r t  

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Se fizermos a parcial de cada lado, teremos:

∂ s - 1 ∂ r s - 1 L e r t =   ∂ s - 1 ∂ r s - 1 a 0 d n d t n e r t +   a 1 d n - 1 d t n - 1 e r t + … +   a n - 1 d d t e r t +   a n e r t  

∂ s - 1 ∂ r s - 1 L e r t = L t s - 1 e r t = 0

Portanto, é solução!!

Resposta

Portanto, é solução!!

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