Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 4.5 - Ex. 14

Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado.

D 3 + 4 D 2 + 3 D

Passo 1

E aí cara, tudo bom??

Vamos lá matar esse probleminha

Queremos fatorar operadores diferenciais, ou seja, vamos decompor o termo que foi dado em um produto de fatores, blz??

Para isso, vamos encontrar as raízes: os valores de D que fazem o operador diferencial zerar

Juro que já to terminando a explicação, só mais uma coisinha hehehe

Temos que lembrar que se um polinômio tem raízes D = 1 e D = 2 , por exemplo, ele pode ser escrito como

D - 1 . ( D - 2 )

Agora e se uma das raízes for negativa? Tipo D = 1 e D = - 2 ? Aí ele pode ser escrito assim:

D - 1 . D - - 2 = D - 1 . ( D + 2 )

Agora sim, bora lá!

Passo 2

O operador diferencial aqui é

D 3 + 4 D 2 + 3 D

Vamos igualar isso a 0 para encontrarmos as raízes:

D 3 + 4 D 2 + 3 D = 0

Colocando D em evidência:

D . D 2 + 4 D + 3 = 0

Então temos duas possibilidades:

D = 0                       o u                 D 2 + 4 D + 3 = 0

Então já temos a primeira raíz, que é D = 0 , agora vamos encontrar as outras:

D 2 + 4 D + 3 = 0

∆ = 4 2 - 4.1 . 3 = 4

Aí:

D = - 4 ± 4 2 = - 4 ± 2 2 = - 2 ± 1

Então nossas raízes são D = - 1 e D = - 3

Portanto, a fatoração fica assim:

D . D + 1 . ( D + 3 )

Resposta

D . D + 1 . ( D + 3 )

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