Enunciado

Nesse problema, indicamos um modo de mostrar que, se r = r1 é uma raiz de multiplicidade s do polinômio característico Z(r), então e^r1t, te^r1t, . . . t^(s—1)e^r1t são soluções da Eq. (1). Esse problema estende para equações de ordem n o método para equações de segunda ordem dado no Problema 22 da Seção 3.4. Começamos da Eq. (2) no texto

e diferenciamos repetidas vezes em relação a r, fazendo r = r1 depois de cada diferenciação.

Diferenciando a Eq. (i) diversas vezes em relação a r, mostre que

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser considerar a equação dada no nosso enunciado

L e r t = e r t   Z ( r )  

L e r t = e r t a 0 r n + a 1 r n - 1 + … + a n - 1 r + a n

L e r t =   a 0 d n d t n e r t +   a 1 d n - 1 d t n - 1 e r t + … +   a n - 1 d d t e r t +   a n e r t  

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Se fizermos a parcial de cada lado, teremos:

∂ m ∂ r m L e r t =   ∂ m ∂ r m a 0 d n d t n e r t +   a 1 d n - 1 d t n - 1 e r t + … +   a n - 1 d d t e r t +   a n e r t  

∂ m ∂ r m L e r t = L t m e r t

Resposta

∂ m ∂ r m L e r t = L t m e r t

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Nos problemas 1-6, a equação diferencial é dada na forma L y = g ( x ) , em que L é um operador diferencial com coeficientes constantes. y ' ' ' - 4 y ' ' + 5 y ' = 4 x
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. D 3 + 4 D
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. 2 D 2 - 3 D - 2
Nos problemas 17-20, verifique que o operador diferencial dado anula a função indicada. 2 D - 1 ,y = 4 e x 2
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. D 4 - 8 D 2 + 16