Enunciado

Nos problemas de 15 a 18, indicamos como provar que a sequência ϕ n t , definida pelas equações de (4) a (7), converge.

Se ∂ f / ∂ y for contínua no retângulo D , mostre que existirá uma constante positiva K tal que

f t , y 1 - f t , y 2 ≤ K y 1 - y 2 ,

em que ( t , y 1 ) e t , y 2 são dois pontos em D com a mesma coordenada t . Essa desigualdade é conhecida como uma condição de Lipschitz.

Sugestão: Mantenha t fixo e use o teorema do valor médio em f como função só de y . Escolha K como o valor máximo de | ∂ f / ∂ y | em D .

Passo 1

Nesse exercício iremos fazer algumas suposições sobre nossa função f e aderir as sugestões do enunciado. Vamos supor um ε que está entre y 1 , y 2 de forma em que a desigualdade continue verdadeira. Vamos juntos resolver.

Passo 2

Bom, vamos lá. Primeiramente vamos deixar nosso t fixo. Assim podemos dizer, sem perda de generalidade, que y 1 < y 2 . Se assumirmos que f é diferenciavel em relação a y , o teorema do valor médio nos garante que existirá um ε   ϵ   y 1 , y 2 de forma que

f t , y 1 - f t , y 2 = f y t , ε ⋅ ( y 1 - y 2 )

Onde f y = ∂ f ∂ y . Isso nos diz que, independente do valor de y 1 e y 2

f t , y 1 - f t , y 2 = f y t , ε ⋅ y 1 - y 2

Desde que ∂ f ∂ y seja continua em D , essa nossa mesma derivada nos dá um ponto de máximo sobre qualquer fronteira fechada de D . Ou seja:

f t , y 1 - f t , y 2 ≤ K ⋅ y 1 - y 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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