Enunciado

Nos problemas de 15 a 18, indicamos como provar que a sequência ϕ n t , definida pelas equações de (4) a (7), converge.

  1. Mostre que, se t ≤ h , então
  2. ϕ 1 t ≤ M t ,

    em que M é escolhido de modo que f t , y ≤ M para ( t , y ) em D .

  3. Use os resultados do problema 16 e do item (a) deste problema 17 para mostrar que
  4. ϕ 2 t - ϕ 1 t ≤ M K t 2 2 .

  5. Mostre, por indução matemática, que

ϕ n t - ϕ n - 1 t ≤ M K n - 1 t n n ! ≤ M K n - 1 h n n ! .

Passo 1

Nesse problema, vamos usar resultados de exercícios anteriores com mais algumas suposições sobre nossas funções. Vamos também fazer manipulações utilizando integrais para conseguirmos chegar nas equações mostradas. Vamos lá!

Passo 2

  1. Bom, vamos supor nossa ϕ 1 t como sendo:
  2. ϕ 1 t = ∫ 0 t f s , 0 d s .

    Assim, se aplicarmos o módulo na expressão, chegaremos que

    ϕ 1 t ≤ ∫ 0 t f s , 0 d s

    Se supormos essa função | f s , 0 | como uma função constante M , teremos que:

    ϕ 1 t ≤ ∫ 0 t f s , 0 d s ≤ ∫ 0 t M d s = M t

    Onde esse M t é nosso máximo valor de f t , y pertencente em D .

    Passo 3

  3. Pela definição, temos que:
  4. ϕ 2 t - ϕ 1 t = ∫ 0 t f s , ϕ 1 s - f s , 0 d s  

    Se pegarmos apenas o valor absoluto da expressão, teremos que toda nossa equação se torna

    ϕ 2 t - ϕ 1 t ≤ ∫ 0 t f s , ϕ 1 s - f s , 0 d s

    Usando os resultados que chegamos no exercício anterior, teremos que:

    ϕ 2 t - ϕ 1 t ≤ ∫ 0 t K ϕ 1 s - 0 d s

    E, como no item anterior chegamos que ϕ 1 t ≤ M t , podemos substituir esse valor na equação para ter que

    ϕ 2 t - ϕ 1 t ≤ K M ∫ 0 t s d s ≤ K M t 2 2

    Passo 4

  5. Inicialmente, vamos supor que

ϕ i t - ϕ i - 1 t ≤ M K i - 1 t i i !

para algum valor de i ≥ 1 . Sendo assim, teremos que pela definição já usada antes

ϕ i + 1 t - ϕ i t = ∫ 0 t f s , ϕ 1 s - f s , ϕ i - 1 s d s

Como já fizemos antes, se pegarmos apenas o valor absoluto, teremos que

ϕ i + 1 t - ϕ i t = ∫ 0 t f s , ϕ 1 s - f s , ϕ i - 1 s d s ≤

≤ ∫ 0 t K ϕ i s - ϕ i - 1 s d s ≤ ∫ 0 t K M K i - 1 s i i ! d s

E temos que:

∫ 0 t K M K i - 1 s i i ! d s = M K i t i + 1 i + 1 !

Aplicando a desigualdade que vimos no item (a), onde t ≤ h , chegamos que

M K i t i + 1 i + 1 ! ≤ M K i h i + 1 i + 1 !

Como queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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