Enunciado

Em cada um dos Problemas 11 e 12, seja ϕ 0 t = 0 e use o método das aproximações sucessivas para aproximar a solução do problema de valor inicial dado.

  1. Calcule ϕ 1 t , … ,   ϕ 4 t ou (se necessário) aproximações de Taylor desses iterados. Mantenha termos até a sexta ordem.
  2. Faça o gráfico das funções encontradas em (a) e observe se elas parecem estar convergindo.

y ' = - sin ⁡ y + 1 ,     y 0 = 0

Passo 1

Nesse exercício, vamos usar o método das aproximações sucessivas, como visto no capítulo, com as integrais e, caso necessário, aproximações de Taylor para encontrar as funções ϕ t . Vamos resolver juntos!!

Passo 2

  1. Bom, vamos lá! Temos que a função que nos mostra como fazer as aproximações sucessivas é definida por
  2. ϕ n + 1 t = ∫ 0 t f s ,   ϕ n s d s

    Substituindo nossa função na integral, ficamos com

    ϕ n + 1 t = ∫ 0 t - sin ⁡ ϕ n s + 1 d s

    Temos ainda que sin ⁡ y = ∑ k = 0 ∞ - 1 k ⋅ x 2 k + 1 2 k + 1 ! , que é uma aproximação de Taylor. Substituindo, teremos

    ϕ n + 1 t = - ∫ 0 t ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x 2 n + 1 2 n + 1 ! + 1 d s

    Agora para ϕ 0 t = 0 , nossas primeiras quatro aproximações, com o auxilio computacional, se tornam

    ϕ 1 t = t

    ϕ 2 t = t - t 2 2 ! + t 3 3 ! + t 4 4 ! - t 6 6 ! + O t 7

    ϕ 3 t = t - t 2 2 ! + t 3 3 ! - 7 t 5 5 ! + 14 t 6 6 ! + O t 7

    ϕ 4 t = t - t 2 2 ! + t 3 3 ! - 7 t 5 5 ! + 31 t 6 6 ! + O t 7

    Passo 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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