22. (a) Verifique se ambas as funções

A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. y1(t) = 1 - t

y2(t) = -t^2 / 4

são soluções do problema de valor inicial

y' = (-t + raiz(t^2 + 4y)) / 2

y(2) = -1

Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a existência de duas soluções para o problema dado não contradiz aunicidade no Teorema 2.4.2.(c) Mostre que y = ct + c2, em que c é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencialno item (a) para t ≥ –2c. Se c = –1, a condição inicial também é satisfeita, e obtemos a soluçãoy = y1(t). Mostre que não existe escolha de c que fornece a segunda solução y = y2(t)

Passo 1

Olá, meu querido amigo, tudo bem?

Hoje é dia de estudar cálculo.

A gente tem as funções:

y 1 ( t )   =   1   –   t  

  y 2 t =   – t 2 4

E eles nos pedem para verificarmos se elas são soluções da EDO:

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y 2 =   - 1

Esses exercícios de “verifique que a função é solução”, existem dois métodos de provar que estamos certos.

Um é realmente integrar e descobrir que ambos os lados são iguais. O outro – para mim o mais fácil – é aplicar a solução na diferencial e derivar. Derivar é sempre mais fácil que integrar

Vamos então agora derivar a função y 1 :

y 1 t =   1   –   t  

d y 1 d t =   - 1

Talvez você se pergunte, mas como - 1 pode ser uma solução para aquele enunciado? Simples acompanha comigo!!!

Passo 2

Temos a EDO:

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y ' = - 1

Então agora vamos igualar a duas e usar y 1 ( t )   =   1   –   t   para substituir y :

- 1 =   - t + t 2 + 4 1 - t 2

Agora vamos aplicar os dados de contorno:

y 2 =   - 1

Assim nossa equação fica:

- 1 =   - 2 + 4 + 4 1 - 2 2

Isso nos dá:

- 1 = - 1

O que prova que y 1 é solução desse problema de valor inicial.

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa com y 2 :

y 2 t =   – t 2 4

d d t y 2 t =   – t 2

Vamos igualar agora as equações:

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y ' = - t 2

- t 2 =   - t + t 2 + 4 - t 2 4   2  

- t 2 = - t 2

Então: y 2 t =   – t 2 4

É solução para os casos onde a raiz é positiva

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ambas são.

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