22. (a) Verifique se ambas as funções
são soluções do problema de valor inicial
Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a existência de duas soluções para o problema dado não contradiz aunicidade no Teorema 2.4.2.(c) Mostre que y = ct + c2, em que c é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencialno item (a) para t ≥ –2c. Se c = –1, a condição inicial também é satisfeita, e obtemos a soluçãoy = y1(t). Mostre que não existe escolha de c que fornece a segunda solução y = y2(t)
Passo 1
Olá, meu querido amigo, tudo bem?
Hoje é dia de estudar cálculo.
A gente tem as funções:
E eles nos pedem para verificarmos se elas são soluções da EDO:
Esses exercícios de “verifique que a função é solução”, existem dois métodos de provar que estamos certos.
Um é realmente integrar e descobrir que ambos os lados são iguais. O outro – para mim o mais fácil – é aplicar a solução na diferencial e derivar. Derivar é sempre mais fácil que integrar
Vamos então agora derivar a função :
Talvez você se pergunte, mas como pode ser uma solução para aquele enunciado? Simples acompanha comigo!!!
Passo 2
Temos a EDO:
Então agora vamos igualar a duas e usar para substituir :
Agora vamos aplicar os dados de contorno:
Assim nossa equação fica:
Isso nos dá:
O que prova que é solução desse problema de valor inicial.
Passo 3
Vamos fazer a mesma coisa com :
Vamos igualar agora as equações:
Então:
É solução para os casos onde a raiz é positiva
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ambas são.