Enunciado

Problemas Variados. Uma das dificuldades em resolver equações de primeira ordem é que existem diversos métodos de resolução, cada um dos quais podendo ser usado em determinado tipo de equação. Pode levar algum tempo para se tornar proficiente em escolher o método melhor para uma equação. Os 32 primeiros problemas a seguir são apresentados de modo a você obter alguma prática na identificação do método ou métodos aplicáveis a uma equação dada. Os problemas restantes envolvem certos tipos de equações que podem ser resolvidos por métodos especializados.

Em cada um dos problemas de 1 a 32, resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução que a satisfaz.

d y d x = 2 x + y 3 + 3 y 2 - x ,     y 0 = 0

Passo 1

Nesse exercício, vamos analisar a função e aplicar o melhor método para resolver a equação diferencial com o devido valor inicial.

Passo 2

Vamos primeiro verificar se nossa função é exata. Vamos rearranja-lá.

3 + 3 y 2 - x ⋅ d y + - 2 x - y ⋅ d x = 0

Se derivarmos o primeiro termo em relação a x e o segundo em relação a y vamos notar que

N x = - 1

M y = - 1

Vemos que a equação é realmente exata, assim temos que integrar M em relação a x e depois derivar nossa ψ x , y encontrada em relação a y . Vamos lá!

ψ x , y = ∫ - 2 x - y d x = - x 2 - y x + g y

∂ ψ x , y ∂ y = - x + g ' y = N = 3 + 3 y 2 - x

g ' y = 3 y 2 + 3 → g y = y 3 + 3 y

Substituindo em ψ x , y , teremos que:

ψ x , y = - x 2 - y x + y 3 + 3 y = 0

Sendo essa nossa solução.

Resposta

- x 2 - y x + y 3 + 3 y = 0

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