Enunciado

Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.

i )   - y x 2 + y 2   d x + x x 2 + y 2 d y ,   x , y ∈ Ω ,   onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y > 0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x < 0 }

Passo 1

Pra ser exata, a gente tem uma condição necessária pra satisfazer, sendo P o termo que acompanha d x e Q o que acompanha d y :

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Vamos verificar isso então:

- 1 x 2 + y 2 - 2 y ( - y ) x 2 + y 2 2 = 1 x 2 + y 2 - 2 x ( x ) x 2 + y 2 2

- x 2 - y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2

= y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Bom, então aqui tá ok, a condição necessária foi satisfeita. Vamos achar a primitiva dessa função agora.

Passo 2

Integrando cada termo em relação a variável d x   a   g e n t e   i n t e g r a   e m   x ,   e   a s s i m   p o r   d i a n t e a gente vai ter:

φ x , y = ∫ - y x 2 + y 2     d x = - a r c t g x y + A ( y )

φ x , y = ∫ x x 2 + y 2     d y = a r c t g y x + B ( x )

Nesse caso a gente tem que π 2 -   a r c t g x z ,   y > 0 é uma primitiva no semipano y > 0 . Então, no quadrante x < 0   e   y > 0 temos a primitiva a r c t g y x e temos o caso de y = 0 também, então temos a seguinte primitiva:

φ x , y : π 2 -   a r c t g x z ,     y > 0   π ,     y = 0 ,   x < 0 a r c t g y x ,   x < 0

Como temos tal função primitiva, a forma diferencial é exata.

Resposta

É exata.

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