Enunciado

Problemas Variados. Uma das dificuldades em resolver equações de primeira ordem é que existem diversos métodos de resolução, cada um dos quais podendo ser usado em determinado tipo de equação. Pode levar algum tempo para se tornar proficiente em escolher o método melhor para uma equação. Os 32 primeiros problemas a seguir são apresentados de modo a você obter alguma prática na identificação do método ou métodos aplicáveis a uma equação dada. Os problemas restantes envolvem certos tipos de equações que podem ser resolvidos por métodos especializados.

Em cada um dos problemas de 1 a 32, resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução que a satisfaz.

d y d x = - 2 x y + y 2 + 1 x 2 + 2 x y

Passo 1

Nesse exercício, vamos analisar a função e aplicar o melhor método para resolver a equação diferencial com o devido valor inicial.

Passo 2

Vamos primeiro verificar se nossa função é exata. Vamos rearranja-lá.

x 2 + 2 x y ⋅ d y + 2 x y + y 2 + 1 ⋅ d x = 0

Se derivarmos o primeiro termo em relação a x e o segundo em relação a y vamos notar que

N x = 2 x + 2 y

M y = 2 x + 2 y

Vemos que a equação é realmente exata, assim temos que integrar M em relação a x e depois derivar nossa ψ x , y encontrada em relação a y . Vamos lá!

ψ x , y = ∫ 2 x y + y 2 + 1 d x = x 2 y + y 2 x + x + g y

∂ ψ x , y ∂ y = x 2 + 2 x y + g ' y = N = x 2 + 2 x y

g ' y = 0 → g y = c

Substituindo em ψ x , y , teremos que:

ψ x , y = x 2 y + y 2 x + x + C = 0

Sendo essa nossa solução.

Resposta

x 2 y + y 2 x + x = C

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