Enunciado

Proceda como no Exemplo 4 e expresse J - 1 2   ( x ) em termos de cos ⁡ x   e uma potência de x .

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, a gente tem que:

J v x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

Para v = - 1 2 , temos:

J - 1 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ 1 - 1 2 + n x 2 2 n - 1 2

E pelo Exemplo 4 , temos que:

Γ 1 - 1 2 + n = 2 n - 1 ! n - 1 ! 2 2 n - 1 π

Substituindo, temos:

J - 1 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 1 2 x - 1 2 2 n 2 n - 1 ! π   x 2 n

= 2 π x   ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n !   x 2 n

E esse último somatório é a série de Maclaurin para cos ⁡ x , então temos que:

= 2 π x cos ⁡ x

Resposta

2 π x cos ⁡ x

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