Enunciado

Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = c o s s e c   3 x . Vejamos que a função c o s s e c   x é igual a 1 s e n   x e que s e n x ≤ 1 . Dessa forma, 1 s e n x ≥ 1 . Logo, a função c o s s e c   x ≥ 1 , o que implica que a função f não tem raiz.

Passo 2

Agora, vejamos que a função c o s s e c   x não existe nos pontos x = k π ,     k ∈ z . Logo, em x = 0 , teríamos f 0   e   f ( π ) que não existem, ou seja, o domínio da função será ( 0 , π 3 ) .

Passo 3

Calculando f ' x utilizando a regra da cadeia, teremos:

u v ' = u ' v . v ' → f ' x = - c o s s e c   3 x   c o t g   3 x . 3 → f ' x = - 3 c o s s e c   3 x   c o t g   3 x

Passo 4

Calculando f ' ' ( x ) , utilizando a regra do produto para derivar, teremos:

u . v ' = u ' . v + u . v ' →

f ' ' x = - 3 . - c o s s e c   3 x   c o t g   3 x . 3 . c o t g 3 x + c o s s e c 3 x . - c o s s e c 2 3 x . 3 →

f ' ' x = 9 c o s s e c   3 x ( c o t g 2 3 x + c o s s e c 2 3 x )

Como a soma de quadrados é sempre maior ou igual a zero, temos que o sinal de f ' ' ( x ) será definido por c o s s e c   3 x . Como 0 < 3 x < π , a função c o s s e c   3 x   é positiva nesse intervalo, então f ' ' x > 0 .

Passo 5

Passo 6

Com os dados apresentados e calculando alguns pontos, temos que:

Passo 7

Vejamos que, verificando os extremos do domínio da função, teremos:

lim x → 0 + ⁡ c o s s e c   x = + ∞   e   lim x →   π 3 - ⁡ c o s s e c   x = + ∞  

Além disso, f π 2 = 1 , ou seja, 1 é um valor de mínimo absoluto e f não tem valor máximo.

Resposta

Gráfico:

E o valor de mínimo absoluto é 1   q u a n d o   x = π 2   .

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