Enunciado

Um projétil é disparado com uma velocidade escalar inicial de 500 m / s e ângulo de elevação de 30 ° . Determine:

( a ) o alcance do projétil,

( b ) a altura máxima atingida e

( c ) a velocidade escalar no impacto.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram lá da física que movimento de projéteis é a combinação de dois movimentos:

  • Na horizontal temos um movimento retilíneo uniforme, sem aceleração.
  • Na vertical temos um movimento retilíneo uniformemente variado, com aceleração da gravidade no sentido negativo do eixo y .

As equações de movimento são essas aqui ó:

Na horizontal:

x = x 0 + v x t

Na vertical:

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

Já que temos velocidade inicial e um ângulo de elevação, vamos ter componentes vertical e horizontal da velocidade. Lembrando que na horizontal a velocidade inicial é a mesma durante todo tempo de voo do projétil. Fazendo a decomposição de vetores teremos:

v x = v c o s   30 ° = 500   . 0,86 = 433 m / s

v 0 y = v s e n   30 ° = 500 .   1 2 = 250 m / s

O alcance do projétil vai ser dado quando o projétil retorna ao solo. Pra isso, vamos determinar primeiro quanto tempo ele leva voando, ou seja, para quais valores de t que o projétil passa pelas posições y 0 = 0 e y = 0 . Admitindo que a gravidade é 9,8 m / s 2 :

0 = 0 + 250 t - 9,8 t 2 2

4,9 t 2 - 250 t = t 4,9 t - 250 = 0

Então temos que o projétil toca no solo quando t = 0 o que faz sentido, pois ele sai do chão. E a segunda solução é:

t = 250 4,9 = 51 s

Bom, agora é só substituir na equação para a posição na horizontal:

x = 0 + 433.51 = 22 k m  

Assim o alcance é r → = 22 k m i →

Passo 2

A altura máxima atingida é quando a componente vertical da velocidade é zero. Lembrando que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, é só derivar a equação da posição na vertical:

d y d t = v 0 y - g t

E para saber quando o projétil atinge a altura máxima devemos fazer d y d t = 0 :

t = v 0 y g = 250 9,8 = 25,5

E a altura máxima pode ser encontrada pela função horária da posição vertical:

y 25,5 = 0 + 250.25,5 - 9,8 25,5 2 2

y 25,5 = 3,2 k m

A altura máxima então é r → = 3,2 k m j →

Passo 3

A velocidade escalar no impacto vai ser dado pelo módulo do vetor velocidade no instante do impacto. Lembram que falei que a velocidade é a derivada temporal da posição? Pois é, vamos montar o vetor posição na forma vetorial:

r → t = 433 t i → + 250 t - 9,8 t 2 2 j →

O vetor velocidade vai ser a derivada desse vetor aqui em cima em relação ao tempo:

d r → d t = 433 i → + 250 - 9,8 t j → = v →

Sabemos que o tempo de voo (lá do passo 1 ) é de 51   s e g u n d o s , então agora podemos calcular o vetor velocidade nesse instante:

v → = 433 i → - 250 j →

E o módulo vai ser:

v → = 433 2 + - 250 2 = 500 m / s

O módulo é o mesmo que no instante inicial! Não há dissipação de energia, então a velocidade inicial vai ser igual a velocidade final. Notem que a única diferença é a direção do vetor da componente vertical. No início, o projétil estava subindo, agora no fim ele está descendo, portando com sentido negativo.

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

( a ) r → = 22 k m i →

( b ) r → = 3,2 k m j →

( c ) 500 m / s

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