Enunciado

Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.

33-

r = 3 + 2   s e n   θ ,     r = 2

Passo 1

Primeiramente vamos descobrir os ângulos θ onde as duas funções serão iguais, para isso vamos igualar o r de um com o r de outro:

3 + 2   s e n   θ = 2

s e n   θ = - 1 2

Com isso os valores de θ em radianos serão iguais a:

θ 1 = - π 6

θ 2 = - 5 6 π

Passo 2

Agora vamos plotar os dois gráficos dados na questão.

Onde a curva vermelha representa r = 2 e a curva azul é r = 3 + 2   s e n   θ e por ela conseguimos ver que elas são simétricas na reta de x = 0 e também que antes da interseção com θ = - π / 6 a curva r = 2 apresenta um módulo maior que r = 3 + 2   s e n   θ e com valores maiores que esse (como θ = 0 por exemplo ) nós temos que r = 3 + 2   s e n   θ apresenta um valor maior que r = 2 o que faz com que a área entre os dois seja igual a:

Onde a área vermelha é a área de r = 3 + 2 sin ⁡ θ   indo de - 5 π 6 até - π 6 e a área preta é a área de r = 2 indo de - π 6 até - 5 π 6 porém como elas são simétricas no eixo vertical nós vamos utilizar a seguinte fórmula para calcular essa área:

A = 2 × 1 2 ∫ - π 2 - π 6 3 + 2   s e n   θ 2 d θ + 1 2 ∫ - π 6 π 2 2 2 d θ  

Passo 3

Fazendo essa conta então nós teremos:

A = ∫ - π / 2 - π / 6 9 + 12   s e n   θ + 4   s e n 2 θ d θ + 4 θ - π / 6 π / 2

Para fazer a integral de s e n 2 θ nós devemos saber duas relações trigonométricas tais como:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = cos ⁡ 2 θ

Logo:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Logo a integral será:

∫ s e n 2 θ = 1 2 θ - 1 4 sin ⁡ 2 θ

Substituindo na nossa integral temos:

A = ∫ - π 2 - π 6 ( 9 + 12 s e n   θ + 2 - 2 cos ⁡ 2 θ )   d θ + 4 π 2 + π 6

Agora resolvendo esse integral aí nós teremos:

A = 9 θ - 12 cos ⁡ θ + 2 θ - sin ⁡ 2 θ - π / 2 - π / 6 + 8 π 3

Agora aplicando o intervalo:

A = 11 - π 6 + π 2 - 12 cos ⁡ - π 6 + 12 cos ⁡ - π 2 - sin ⁡ ( - π 3 + sin ⁡ - π + 8 π 3

A = 11 π 3 - 12 3 2 + 0 + 3 2 - 0 + 8 π 3

A = 19 π 3 - 11 3 2

Resposta

A = 19 π 3 - 11 3 2

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