Enunciado

Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.

24-

16 x 2 - 9 y 2 + 64 x - 90 y = 305

Passo 1

Vamos arrumar x com x e y com y dessa expressão dada no enunciado:

16 x 2 + 64 x - 9 y 2 + 90 y = 305

O que pode ser escrito da seguinte forma:

16 x + 4 x - 9 y 2 + 10 y = 305

A parcela ( x 2 + 4 x ) parece muito com:

x + 2 2 = x 2 + 4 x + 4

Assim precisamos inserir 4 no parênteses onde está x

E a parcela y 2 + 10 y parece muito com:

y + 5 2 = y 2 + 10 y + 25

Logo precisamos somar 25 no parênteses da equação. O que deixa nossa equação da seguinte forma:

16 x 2 + 4 x + 4 - 9 y 2 + 10 y + 25 = 305 + 16 × 4 - 9 × 25

16 x + 2 2 - 9 y + 5 2 = 144

Dividindo por 144 os dois lados nós teremos:

x + 2 2 144 16 - y + 5 2 144 9 = 1

x + 2 2 9 - y + 5 2 16 = 1

Passo 2

Essa equação é uma equação caracterizada por ser uma hipérbole horizontal, com origem em:

( - 2 , - 5 )

E os valores de a e b serão:

a = 9 = 3

b = 16 = 4

Consequentemente c será:

c = 3 2 + 4 2 = 5

E por ser uma hipérbole horizontal ela terá equações de assíntotas iguais a:

y - y 0 = ± b a ( x - x 0 )

y + 5 = ± 4 3 ( x + 2 )

Os focos então estarão em:

( - 2 ± c , - 5 )

3 , - 5       e       ( - 7 , - 5 )

E os vértices:

( - 2 ± a , - 5 )

1 , - 5       e         - 5 , - 5

O gráfico estará da seguinte forma:

Resposta

Assíntotas:

y + 5 = ± 4 3 ( x + 2 )

Focos:

3 , - 5       e       ( - 7 , - 5 )

Vértices:

1 , - 5       e         ( - 5 , - 5 )

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