Enunciado

Projeto de um peso para prumo. Você é o encarregado de projetar um peso de latão para prumo que pesará aproximadamente 190   g , e decide concebê-lo como o sólido de revolução mostrado aqui. Determine o volume do peso. Se você especificar um latão com densidade 8,5   g / c m ³ , qual será o peso em gramas do prumo (arredonde para o inteiro mais próximo)?

Passo 1

Então galera, para determinarmos o “peso” do prumo (que na verdade seria a massa, mas tudo bem) precisamos utilizar a relação de densidade, uma vez que a questão nos cede a densidade do latão. Sendo assim, teremos a seguinte expressão:

ρ = m V

∴ m = ρ . V

Como a densidade já nos é cedida, então precisamos determinar o volume do sólido, certo? É aí que a resolução entra de fato, mas fiquem tranquilos, não é um bicho de 7 cabeças não, viu?! Bora lá!

Passo 2

Para determinarmos o volume desse sólido, galera, devemos utilizar a equação que o próprio George nos cede na seção 5.4, que é a seguinte:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Para descobrirmos o volume total desse sólido, vamos dividir todo o sólido em discos de larguras infinitesimais para utilizarmos a equação acima, ok? Se fizermos isso, temos que a área de cada disco será:

A x = π R x ²

Sendo assim, nosso volume será:

V = ∫ a b π R x 2 d x

Mas é aí que está! Quem seria esse R ( x ) ? O próprio desenho do enunciado nos cede esse valor, que é:

x 12 36 - x 2

Então a integral que teremos que resolver é a seguinte:

V = π ∫ 0 6 x 2 144 . 36 - x 2 2 d x

Simplificando os expoentes, teremos:

V = π 144 ∫ 0 6 x 2 . ( 36 - x 2 ) d x

Vale lembrar que o sólido vai de 0 a 6 c m , assim como podemos notar na figura!

Passo 3

Ufaaa! Agora sim chegamos em uma integral mais bonitinha e mais tranquila de se resolver, não é mesmo? Abrindo essa integral, teremos o seguinte, galera:

V = π 144 ∫ 0 6 36 x ² d x - π 144 ∫ 0 6 x 4 d x

V = π 4 ∫ 0 6 x ² d x - π 144 ∫ 0 6 x 4 d x

Resolvendo a integral, teremos:

V = π 4 x 3 3 6 0 - π 144 x 5 5 6 0

V = π 4 6 3 3 - π 144 6 5 5

∴ V = 7,2 π   c m ³

Passo 4

Agora que encontramos quanto vale o volume, basta utilizarmos a equação que escrevemos lá no passo 1 para descobrirmos a massa, saca só:

m = ρ . V

m = 8,5 g c m 3 . 7,2 π   c m ³

∴ m ≅ 192   g

Resposta

m ≅ 192   g

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