Enunciado

Faça o gráfico da função

f x = - 0     ,   s e   x ≤ - 1 1 x       , s e     0 < | x | < 1 0         ,   s e   x = 1 1       , s e       x > 1

Em seguida discuta em detalhes, os limites, limites lateria s continuidade e continuidade lateral de f ( x ) em x = - 1 ,   0 e 1 . Algumas dessas continuidades é removível? Explique

Passo 1

O primeiro passo é lembrar as definições de continuidade e continuidade lateral. Sendo assim,

Pelo teste de continuidade temos que uma f ( x ) é continua em c (ponto qualquer) se e somente se,

  1. f ( c ) existir ( c   pertencer ao domínio de f . )
  2. l i m x → c f x existir ( f possui um limite quando x → c )
  3. l i m x → c f x = f ( c ) (o limite é igual ao valor da função no ponto c )

Já para continuidade lateral, temos que f ( x ) é continua no ponto c , se

l i m x → c - f x = l i m x → c + f x

Passo 2

O segundo passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em x = - 1

Mas para isso temos que analisar f ( x ) com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando x → - 1 - estamos com valores menores que - 1 , então f x = 0 ,

l i m x → - 1 - f x = l i m x → - 1 - 0 = 0

Quando x → - 1 + estamos com valores maiores que - 1 , então f x = 1 x ,pois aplicaremos o módulo ao x .

l i m x → - 1 + f x = l i m x → - 1 + 1 x   = 1 - 1 = - 1

Logo,

l i m x → 1 - f x ≠ l i m x → 1 + f x

Quando isso acontece dizemos que esse limite não existe.

Verificando a continuidade

  1. f - 1 = 0
  2. Vimos que l i m x → 1 - f x ≠ l i m x → 1 + f x

Fazendo com que o limite não existisse, sendo assim l i m x → 1 f x também não poderá existir.

Portanto, como l i m x → 1 f x   não existe, então f ( x ) é descontinua em x = - 1 .

Passo 3

O terceiro passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em x = 0  

Para isso temos que avaliar f ( x ) com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando x → 0 - estamos com valores menores que zero, então f x = 1 x ,pois aplicaremos o módulo ao x .

l i m x → 0 - f x = l i m x → 0 - 1 x   = - ∞

Isso acontece pois estamos com valores negativos.

Quando x → 0 + estamos com valores maiores que zero, então f x = 1 x ,pois aplicaremos o módulo ao x .

l i m x → 0 + f x = l i m x → 0 + 1 x = ∞

Logo,

l i m x → 1 - f x ≠ l i m x → 1 + f x

Quando isso acontece dizemos que esse limite não existe.

Verificando a continuidade

  1. f 0 não existe, pois 0     não pertence ao domínio da f .

Portanto, como 0     não pertence ao domínio da f .   Então f ( x ) é descontinua em x = 0 .

Perceba que zero pertencer ao domínio da   f , não faz muita diferença pois o papel dele é simplesmente dar um “salto” na função de depois voltar para o caminho que ela estava seguindo, quando isso acontece dizemos que essa descontinuidade é removível

Passo 4

O quarto passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em x = 1

Mas para isso temos que analisar f ( x ) com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando x → 1 - estamos com valores menores que 1 , então f x = 1 x , pois aplicaremos o módulo ao x .

l i m x → 1 - f x = l i m ⁡ x → 1 - 1 x = 1 1 = 1

Quando x → 1 + estamos com valores maiores que 1 , então f x = 1 ,

l i m x → 1 + f x = l i m x → 1 + 1 = 1

Logo,

l i m x → 1 - f x = l i m x → 1 + f x

Portanto, f ( x ) é continua lateralmente em x = 1 .

Verificando a continuidade

  1. f 1 = 0
  2. Vimos pela continuidade lateral que l i m x → 1 - f x = l i m x → 1 + f x = 1
  3. Se tanto pela esquerda quanto pela direita o limite deram 1 , então

    l i m x → 1 f x = 1

  4. Porém, quando isso acontece

l i m x → 1 f x = 1 ≠ 0 = f 1

Como l i m x → 1 f x ≠ f 1 então f ( x ) é descontinua em x = 1 .

Perceba que o fato de 1 pertencer ao domínio da   f , não faz muita diferença pois o papel dele é simplesmente dar um “salto” na função de depois voltar para o caminho que ela estava seguindo, quando isso acontece dizemos que essa descontinuidade é removível

Resposta

f ( x ) é descontinua em x = - 1   ,   0   e 1 .

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