Enunciado

Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = 1 + x - 3

Passo 1

A série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0

f x = 1 + x - 3 ⇒ f 0 = 1

f ' x = - 3 1 + x - 4 ⇒ f ' 0 = - 3

f ' ' x = + 12 1 + x - 5 ⇒ f ' ' 0 = + 12

f ' ' ' x = - 6 0 1 + x - 6 ⇒ f ' ' ' 0 = - 60

f ' ' ' ' x = + 3 60 1 + x - 7 ⇒ f ' ' ' ' 0 = + 360

Podemos perceber o padrão, de forma geral f n 0 = - 1 n n + 2 ! 2

Passo 2

Então a série para a função é

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 ! 2 n ! x n = ∑ n = 0 ∞ - x n n + 2 ! 2 n !

Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - x n + 1 n + 3 ! 2 n + 1 ! ⋅ 2 n ! - x n n + 2 !

= lim n → ∞ ⁡ x n + 3 n + 1 = x

Se x < 1 , então a série de Maclaurin converge para todo x .

Se x > 1 , então a série de Maclaurin diverge para todo x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - x n n + 2 ! 2 n !

R = x ,   p a r a   t o d o   x < 1

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