Enunciado

Uma prova da regra de Leibniz A regra de Leibniz diz que se f é contínua em [ a , b ] e se u ( x ) e v ( x ) são funções diferenciáveis de x cujos valores estejam em [ a , b ] , então

d d x ∫ u ( x ) v ( x )   f ( t ) d t = f ( v ( x ) ) d v d x - f ( u ( x ) ) d u d x .

Prove essa regra definindo

g ( u , v ) = ∫ u v   f ( t ) d t ,   u = u ( x ) ,   v = v ( x )

e calculando d g / d x com a regra da cadeia.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você chegou aos exercícios adicionais avançados! Nesta questão temos como tópico a regra de Leibniz. Nosso objetivo é demonstrá-la.

d d x ∫ u ( x ) v ( x )   f ( t ) d t = f ( v ( x ) ) d v d x - f ( u ( x ) ) d u d x

Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

A substituição de u + u ( x ) e v = v ( x ) em g ( u , v ) resultará em g ( u ( x ) , v ( x ) ) , que é uma função independente da variável x .Assim, temos que g ( u , v ) valerá:

g ( u , v ) = ∫ w v   f ( t ) d t

Aplicando a diferencial teremos:

d g d x = ∂ g ∂ u d u d x + ∂ g ∂ v d v d x d g d x = ∂ ∂ u ∫ u v     f ( t ) d t d u d x + ∂ ∂ v ∫ u v     f ( t ) d t d v d x d g d x = - ∂ ∂ u ∫ v u     f ( t ) d t d u d x + - ∂ ∂ v ∫ u v     f ( t ) d t d v d x d g d x = - f ( u ( x ) ) d u d x + f ( v ( x ) ) d v d x d g d x = f ( v ( x ) ) d v d x - f ( u ( x ) ) d u d x

Passo 3

Como temos que d g d x = f ( v ( x ) ) d v d x - f ( u ( x ) ) d u d x , conseguimos provar a regra de Leibniz.

Resposta

Resposta nos passos.

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