Enunciado

Provar por indução matemática:

sum_(i = 1)^n i = (n ( n + 1 ))/(2)

Passo 1

Parte 1:

Primeiro vamos verificar a validade para n =1

Se n=1, então o primeiro membro da fórmula será:

sum_(i = 1)^1 i = 1

e, do outro lado,

(n ( n + 1 ))/(2) = (1 (1 + 1))/(2) = (2)/(2) = 1

Desse modo, a fórmula é válida quando n = 1

Passo 2

Parte 2:

Vamos supor que a fórmula seja válida pra n = k, onde k é um inteiro positivo:

sum_(i = 1)^k i = (k ( k + 1 ))/(2)

Chamaremos esta equação de equação (1) para referências futuras.

Queremos provar que a fórmula também é válida quando n = k + 1, ou seja:

sum_(i = 1)^(k + 1) i = (( k + 1 ) ( k + 1 + 1 ))/(2) = (( k + 1 ) ( k + 2 ))/(2)

(equação 2)

Quando n = k + 1, temos:

sum_(i = 1)^(k + 1) i = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = sum_(i = 1)^k i + ( k + 1 )

Aplicando a equação (1):

= (k ( k + 1 ))/(2) + (k + 1)

Colocando k + 1 em evidência:

= (k + 1) ((k)/(2) + 1)

= ((k + 1) (k + 2))/(2)

Que é a equação (2)

Passo 3

Conclusão: da parte 1 sabemos que a Fórmula é válida para n = 1. Por isso, segue da parte 2 que ela é válida para n = 1 + 1, ou 2; como é válida para n = 2, é também válida para n = 2 + 1, ou 3; e assim por diante. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é válida para todos os valores inteiros positivos de n.

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A n a área de um polígono com lados iguais inscrito num círculo com raio r. Dividindo o polígono em triângulos congruentes com ângulo central de 2 π n , mostre que: A n = 1 2 n r ² . s e n2 π n ²
Se A é a área sob a curva y = e x de 1 a 3 , use o Exercício 25 para encontrar um valor de n tal que R n - A0,0001 .
(a) Use a Regra do Trapézio e os dados a seguir para estimar o valor da integral. ∫ 1 5 f ( x ) d x (b) Se soubermos que - 2≤f ' ' ( x ) ≤ 3 para todo x, estime o erro envolvido na aproximação na part
Uma tabela de valores de uma função t é dada. Use a Regra de Simpson para estimar ∫ 0 1,6 g ( x ) d x Se 5 t(4) (x) 2 para 0 x 1,6, estime o erro envolvido na aproximação na parte (a).
Usa ( a ) a regra do trapézio, ( b ) a regra do ponto médio e ( c ) a regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais)