Enunciado

Provar por indução matemática:

sum_(i = 1)^n i^3 = (n^2 (n + 1)^2)/(4)

Passo 1

Parte 1:

Primeiro vamos verificar a validade para n =1

Se n=1, então o primeiro membro da fórmula será:

sum_(i = 1)^1 i^3 = 1

e, do outro lado,

(n^2 (n + 1)^2)/(4) = (1^2 (1 + 1)^2)/(4) = (4)/(4) = 1

Desse modo, a fórmula é válida quando n = 1

Passo 2

Parte 2:

Vamos supor que a fórmula seja válida pra n = k, onde k é um inteiro positivo:

sum_(i = 1)^k i^3 = (k^2 (k + 1)^2)/(4)

Chamaremos esta equação de equação (1) para referências futuras.

Queremos provar que a fórmula também é válida quando n = k + 1, ou seja:

sum_(i = 1)^(k + 1) i^3 = ((k + 1)^2 (k + 1 + 1)^2)/(4) = ((k + 1)^2 (k + 2)^2)/(2)

(equação 2)

Quando n = k + 1, temos:

sum_(i = 1)^(k + 1) i^3 = 1 + 2 + 3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = sum_(i = 1)^k i^3 + (k + 1)^3

Aplicando a equação (1):

= (k^2 (k + 1)^2)/(4) + (k + 1)^3

Colocando (k + 1)^2 em evidência:

= (k + 1)^2 ((k^2)/(4) + k + 1)

= (k + 1)^2 (( k^2 + 4 k + 4 ))/(4)

= ((k + 1)^2 (k + 2)^2)/(2)

Que é a equação (2)

Passo 3

Conclusão: da parte 1 sabemos que a Fórmula é válida para n = 1. Por isso, segue da parte 2 que ela é válida para n = 1 + 1, ou 2; como é válida para n = 2, é também válida para n = 2 + 1, ou 3; e assim por diante. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é válida para todos os valores inteiros positivos de n.

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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