Provar por indução matemática:

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

Passo 1

Parte 1:

Primeiro vamos verificar a validade para n =1

Se n=1, então o primeiro membro da fórmula será:

∑ i = 1 1 i 3 = 1

e, do outro lado,

n 2 n + 1 2 4 = 1 2 1 + 1 2 4 = 4 4 = 1

Desse modo, a fórmula é válida quando n = 1

Passo 2

Parte 2:

Vamos supor que a fórmula seja válida pra n = k, onde k é um inteiro positivo:

∑ i = 1 k i 3 = k 2 k + 1 2 4

Chamaremos esta equação de equação (1) para referências futuras.

Queremos provar que a fórmula também é válida quando n = k + 1, ou seja:

∑ i = 1 k + 1 i 3 = k + 1 2 k + 1 + 1 2 4 = k + 1 2 k + 2 2 2

(equação 2)

Quando n = k + 1, temos:

∑ i = 1 k + 1 i 3 = 1 + 2 + 3 + … + k 3 + k + 1 3 =   ∑ i = 1 k i 3 + k + 1 3

Aplicando a equação (1):

= k 2 k + 1 2 4 + k + 1 3

Colocando k + 1 2 em evidência:

= k + 1 2 k 2 4 + k + 1

= k + 1 2 ( k 2 + 4 k + 4 ) 4

= k + 1 2 k + 2 2 2

Que é a equação (2)

Passo 3

Conclusão: da parte 1 sabemos que a Fórmula é válida para n = 1. Por isso, segue da parte 2 que ela é válida para n = 1 + 1, ou 2; como é válida para n = 2, é também válida para n = 2 + 1, ou 3; e assim por diante. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é válida para todos os valores inteiros positivos de n.

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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