Provar a propriedade |b| da proposição 3.3 \* 2 .

Passo 1

A propriedade b diz o seguinte:

Se lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f ( x ,   y ) existe, e é um número real qualquer, então:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ c ⋅ f ( x ,   y ) = c ⋅ lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f ( x ,   y )

Passo 2

Vamos considerar o seguinte limite:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f ( x ,   y ) = L

Também vamos considera um número real c . Queremos provar que:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ c ⋅ f ( x ,   y ) = c ⋅ L

Vamos supor c ≠ 0 .

Assim, para mostrar isso podemos usar a definição de limite:

Dado um ε > 0 existe δ > 0 tal que c ⋅ f ( x ,   y ) - c ⋅ L < ε sempre que 0 < x - x 0 2 + y - y 0 2 < δ .

Passo 3

Podemos reorganizar c ⋅ f ( x ,   y ) - c ⋅ L da seguinte forma:

c ⋅ f ( x ,   y ) - c ⋅ L = c f ( x ,   y ) - L

Também por hipótese, da definição formal de limite temos que:

Dado um ε > 0 existe δ > 0 tal que f ( x ,   y ) - L < ε sempre que 0 < x - x 0 2 + y - y 0 2 < δ .

Podemos fazer δ = ε c , dessa forma podemos dizer que:

f ( x ,   y ) - L < ε c

Assim temos:

c f ( x ,   y ) - L < ε

c ⋅ f ( x ,   y ) - c ⋅ L < ε

Com isso provamos que:

Dado um ε > 0 existe δ > 0 tal que c ⋅ f ( x ,   y ) - c ⋅ L < ε sempre que 0 < x - x 0 2 + y - y 0 2 < δ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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