Enunciado

Mostrar que os limites não existem:

h) underset([[x -> 1],[y -> 0]])(lim) ((x - 1)^2 y)/((x - 1)^4 + y^2)

Passo 1

Para provar que o limite não existe, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x , y ) de aproxima de ( 1 , 0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

underset([[x -> 1],[y = 0]])(lim) ((x - 1)^2 y)/((x - 1)^4 + y^2) = underset(x -> 0)(lim) ((x - 1)^2 (0))/((x - 1)^4 + (0)^2) = underset(x -> 0)(lim) (0)/((x - 1)^4) = underset(x -> 0)(lim) 0 = 0

Se ( x , y ) de aproxima de ( 1 , 0 ) pela curva y = (x - 1)^2 . Logo:

underset([[x -> 1],[y = (x - 1)^2]])(lim) ((x - 1)^2 y)/((x - 1)^4 + y^2) = underset([[x -> 1],[y = (x - 1)^2]])(lim) ((x - 1)^2 xx (x - 1)^2)/((x - 1)^4 + ((x - 1)^2)^2) = underset([[x -> 1],[y = (x - 1)^2]])(lim) ((x - 1)^4)/(2 (x - 1)^4)

underset([[x -> 1],[y = (x - 1)^2]])(lim) ((x - 1)^4)/(2 (x - 1)^4) = underset([[x -> 1],[y = (x - 1)^2]])(lim) (1)/(2) = (1)/(2)

Como os resultados são diferentes, temo s que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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