Provar que:

(a)Se y = cotg x , então y' = -cosec^2 x .

Passo 1

A cotangente de um ângulo nada mais é que o inverso da tangente desse ângulo, ou seja:

cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x

Mas também sabemos da trigonometria que tan ⁡ x = s i n   x cos ⁡ x

Então escrevemos que a cotangente de x vale:

cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x

Passo 2

Se y = cot ⁡ x , e queremos comprovar o valor de y ' , vamos derivar y = cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x pela regra do quociente:

y ' = cot ⁡ x ' = ( - sin ⁡ x ∙ sin ⁡ x ) - ( cos ⁡ x ∙ cos ⁡ x ) ( sin ⁡ x ) 2

y ' = cot ⁡ x ' = ( - sin ⁡ x ) 2 - ( cos ⁡ x ) 2 ( sin ⁡ x ) 2

y ' = cot ⁡ x ' = - [ sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 ] ( sin ⁡ x ) 2

Passo 3

Pelos nossos conhecimentos de trigonometria, lembramos que sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 = 1 . Logo, resultamos em:

y ' = cot ⁡ x ' = - 1 ( sin ⁡ x ) 2

Ainda dentro dos nossos conhecimentos de trigonometria, sabemos que 1 sin ⁡ x = csc ⁡ x . Então, resultamos em:

y ' = cot ⁡ x ' = - ( csc ⁡ x ) 2

E fica assim provada a tese do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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