Responde Aí

Enunciado

Suponha que f seja uma função que é derivável em toda parte. Explique, se houver, a relação entre a periodicidade de f e a de f ' . Ou seja, se f for periódica, f ' também precisará ser periódica? Se f ' for periódica, f também precisará ser periódica?

Passo 1

Vamos lá, se f é uma função periódica temos que f ' será periódica também, vamos provar isso:

Vamos dizer que a função f é uma função periódica para todo x , então:

f x = f x + a

Onde a é um período, assim derivando os dois lados temos:

f ' x = f ' x + a ⋅ x + a ' = f ' x + a ⋅ 1 + 0 = f ' x + a

Pronto, f ' é uma função periódica.

Passo 2

Já se f ' é uma função periódica temos que f não precisa ser periódica, vamos ver como exemplo a função que não é periódica:

f x = cos ⁡ x + x

Derivando temos então a função:

f ' x = - sen ⁡ x + 1

Essa função não é periódica, assim se f ' é uma função periódica, f não precisa ser periódica.

Resposta

Se f é uma função periódica temos que f ' será periódica também, já se f ' é uma função periódica temos que f não precisa ser periódica.

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