Provar que:

(b) Se y = sec(x) , então y' = sec(x) \* tg(x)

Passo 1

Primeiro, temos que analisar quem é a sec ⁡ x , como ela pode ser rescrita

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Então, temos que:

y = 1 cos ⁡ x

Passo 2

Podemos fazer a derivada de y = 1 cos ⁡ x um usando a derivada do quociente.

Passo 3

A equação para derivada do quociente é:

y = u v ⟹ y ' = u ' v - u v ' v 2

Passo 4

Para

y = 1 cos ⁡ x

Temos que u = 1 e v = cos ⁡ x

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 1

u ' = 0  

Porque a derivada de uma constante é zero.

Segundo v '

v = cos ⁡ x

v ' = - sen ⁡ x

Terceiro v 2

v = cos ⁡ x

v 2 = cos 2 ⁡ x

Passo 5

Agora vamos aplicar em y '

y ' = 0 ∙ cos ⁡ x - 1 ∙ - sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

y ' = 0 + sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

y ' = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

Passo 6

Podemos reescrever essa divisão na forma de duas frações

y ' = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

y ' = 1 cos ⁡ x ∙ sen ⁡ x cos ⁡ x

Podemos reescrever a primeira fração como

1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

E a segunda como

sen ⁡ x cos ⁡ x = tg ⁡ x

Aplicando na equação novamente temos:

y ' = sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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