Prove:

b ∫ c o t g h   u . d u = ln ⁡ | s en h ⁡ u | + c

Passo 1

Para provar a igualdade podemos derivar o segundo termo, se obtermos o integrando provamos a equação:

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = D x ln ⁡ s e n h   u + D x ( C )

Lembrando que a derivada da constante é 0:

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = D x ln ⁡ s en h ⁡ u

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = 1 senh ⁡ u . D x senh ⁡ u

Lembrando do Teorema 8.4.3:

D x   s en h ⁡ u = c o s h   u . D x u

Então:

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = 1 senh ⁡ u .   c o s h   u

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = c o t g h   u

Concluindo:

∫ c o t g h   u . d u = ln ⁡ | senh ⁡ u | + c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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