Prove:

∫ s e c h   u . d u = 2 . t g - 1 e u + c

Passo 1

Para provar a igualdade precisamos lembrar que:

s e c h   u = 2 e x + e - x

∫ d u 1 + u ² = t g - 1 u + C

Então:

∫ s e c h   u . d u = ∫ 2 e u + e - u . d u

Manipulando a integral:

∫ s e c h   u . d u = 2 ∫ 1 e - u e u e - u + 1 . d u = 2 ∫ e u e 2 u + 1 . d u

∫ s e c h   u . d u = 2 ∫ 1 e - u e u e - u + 1 . d u = 2 ∫ e u ( e u ) ² + 1 . d u

Fazendo

x = e u

d x = e u . d u

∫ s e c h   u . d u = 2 ∫ d x x ² + 1

∫ s e c h   u . d u = 2 . t g - 1 x + C

Substituindo novamente:

∫ s e c h   u . d u = 2 . t g - 1 e u + C

Lembrando que a derivada da constante é 0:

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = D x ln ⁡ senh ⁡ u

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = 1 senh ⁡ u . D x senh ⁡ u

Lembrando do Teorema 8.4.3:

D x   senh ⁡ u = c o s h   u . D x u

Então:

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = 1 senh ⁡ u .   c o s h   u

D x ln ⁡ senh ⁡ u + c = c o t g h   u

Concluindo:

∫ c o t g h   u . d u = ln ⁡ | senh ⁡ u | + c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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