Enunciado

Prove analiticamente que as três medianas de um triângulo encontram-se num ponto

Passo 1

O problema nos pede para provar que se traçarmos as três medianas do triângulo elas se encontrarão em um determinado ponto.

Para começar, precisamos saber que a mediana é um segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. Ilustrando as mediatrizes para um triângulo qualquer ABC, temos:

Dado que A(-b,0), B(a,0) e C(0,c), M1, M2 e M3 são pontos médios e podem ser calculados como a média dos pontos pertencentes a sua reta:

M 1 ( x C + x B 2 , y C + y B 2 )

M 2 ( x A + x C 2 , y A + y C 2 )

M 3 ( x A + x B 2 , y A + y B 2 )

Agora podemos calcular seus pontos:

M 1 ( a 2 , c 2 )

M 2 ( - b 2 , c 2 )

M 3 ( - b + a 2 , 0 )

Com os pontos podemos obter a equação da reta para cada mediana.

Passo 2

Dada a equação geral da reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Para a mediana AM1:

A   ( - b , 0 )

M 1 ( a 2 , c 2 )

c 2 - 0 = m ( a 2 + b )

c 2 = m ( a + 2 b 2 )

m = c 2 . 2 a + 2 b = c a + 2 b

Então:

y - 0 = c a + 2 b ( x + b )

y = ( x + b ) c a + 2 b

Para a mediana BM2:

A   ( a , 0 )

M 1 ( - b 2 , c 2 )

c 2 - 0 = m ( - b 2 - a )

c 2 = m ( - b - 2 a 2 )

m = c 2 . 2 - b - 2 a = - c b + 2 a

Então:

y - 0 = - c b + 2 a ( x - a )

y = - ( x - a ) c b + 2 a

Igualando os valores de y:

( x + b ) c a + 2 b = - ( x - a ) c b + 2 a

( x + b ) ( b + 2 a ) = - ( x - a ) ( a + 2 b )

x = a - b 3

Calculando y para AM1:

y = ( a - b 3 + b ) c a + 2 b

y = c 3

Calculando y para BM2:

y = - ( a - b 3 - a ) c b + 2 a

y = c 3

Com isso nós comprovamos que as medianas AM1 e BM2 possuem um ponto em comum ( a - b 3 , c 3 ) . O mesmo procedimento pode ser realizado para a mediana CM3 e o mesmo ponto em comum será obtido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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