Enunciado

Encontre uma equação para a família de retas tangentes ao círculo com centro na origem e raio 3.

Passo 1

Primeiro, vamos ver qual a equação desse círculo aí.

A equação geral de um círculo é:

x - x c 2 + y - y c 2 = r 2

Onde ( x c , y c ) é a coordenada do centro do círculo e r é o raio. No caso, temos o centro na origem, logo ( x c = 0 , y c = 0 ) e com raio 3 , logo r = 3 . Assim, nossa equação será:

x - 0 2 + y - 0 2 = 3 2

x 2 + y 2 = 9

Passo 2

Como queremos uma família de retas, será algo do tipo:

y = m x + b

Além disso, queremos que ela seja tangente ao círculo, logo ela tem um ponto com comum com o círculo. Vamos achar esse ponto:

Podemos substituir y da reta na equação do cículo:

x 2 + y 2 = 9

x 2 + m x + b 2 = 9

Abrindo esse produto notável do tipo a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 :

x 2 + m 2 x 2 + 2 b m x + b 2 = 9

Vamos colocar x 2 em evidência e arrumar a equação:

1 + m 2 x 2 + ( 2 b m ) x + ( b 2 - 9 ) =

Opa, temos uma equação do segundo grau para resolver!! Vamos usar Bháskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a

- 2 b m ± 2 b m 2 - 4 ( 1 + m 2 ) ( b 2 - 9 ) 2 ( 1 + m 2 )

Fazendo as contas:

- 2 b m ± 4 b 2 m 2 - ( 4 b 2 - 36 + 4 b 2 m 2 - 36 m 2 ) 2 ( 1 + m 2 )

Bom, as raízes dessa equação são os pontos onde a reta toca o círculo, como ela deve ser tangente ao círculo, deve tocar em apenas um ponto, certo? Logo, para que haja apenas uma raiz dessa equação, o delta da fórmula de Bháskara deve ser 0 :

4 b 2 m 2 - 4 b 2 - 36 + 4 b 2 m 2 - 36 m 2 = 0

4 b 2 m 2 - 4 b 2 + 36 - 4 b 2 m 2 + 36 m 2 = 0

Dá para cortar 4 b 2 m 2 :

- 4 b 2 + 36 + 36 m 2 = 0

Agora, vamos achar uma relação entre b e m :

36 m 2 = 4 b 2 - 36

m = 4 b 2 36 - 36 36

m = 1 9 b 2 - 1

E substituir isso na equação da reta que temos:

y = 1 9 b 2 - 1 x + b

Logo, essa é a família de retas tangentes ao círculo x 2 + y 2 = 9

Resposta

y = 1 9 b 2 - 1 x + b

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Dê o domínio e esboce o gráfico. b ) f x = 2 x - 1
Esboce o gráfico da função y = f ( x ) dada implicitamente pela equação c )( x - 1 ) 2 + y 2 = 4 ,y ≥ 0
Dê o domínio e esboce o gráfico. i ) f x = 1 x 2
Dê o domínio e esboce o gráfico. h ) f x = 1 x - 2
Dê o domínio e esboce o gráfico. x ) y = x 2 3