Enunciado

São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,   b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta y = k .

f x = x 2 - 4 ,       s e   - 2 ≤ x < 1 x 2 - 1 ,             s e     1 < x ≤ 3 ;           a ,   b = - 2 ,   3 ;           k = - 1

Passo 1

Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função f deve ser contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo k entre f ( a ) e f ( b ) existirá um c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k .

Devemos então verificar se f é contínua e se k está entre f ( a ) e f ( b ) . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar c tal que f c = k .

Como f é definida por partes, vamos ver se ela é contínua em x = 1 que é o ponto de “colagem”. Para isso, vamos tomar os limites laterais:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 ⁡ x 2 - 4 = 1 - 4 = - 3

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe e, portanto, f é descontínua nesse ponto. Assim, o teorema do valor intermediário não vale nesse caso!

Passo 2

Por outro lado, não porque o TVI não vale que podemos afirmar que não existe c tal que f c = k . Note que no intervalo [ - 2 ,   1 ) , podemos fazer

c 2 - 4 = - 1 ⇒ c 2 = 3 ⇒ c = - 3 ∈ [ - 2 ,   1 )

Portanto, neste caso existe c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k = - 1 , mesmo com o TVI não valendo.

Passo 3

O gráfico de f nesse intervalo e da reta y = - 1 :

Resposta

O TVI não é aplicável mas existe c tal que f c = k .

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Use o teorema do valor intermediário nos Exercícios 71 -78 para provar que cada equação tem uma solução. Em seguida, utilize uma calculadora gráfica ou um computador com software gráfico para resolver
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Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) Use recursos gráficos para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal53. x 5 - x 2 - 4 = 0