Enunciado

Prove que a catenária é côncava para cima em todo ponto.

OBS: Equação da catenária

y = a cosh ⁡ x a

Pra um a > 0

Passo 1

Para provarmos isso, temos que mostrar que a segunda derivada da equação da catenária é sempre positiva.

Vamos começar lembrando que:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Derivando a expressão da catenária:

a cosh ⁡ x a ' = a e x a + e - x a 2 ' = a 1 a e x a - 1 a e - x a 2 = e x a - e - x a 2

Passo 2

Agora vamos fazer a segunda derivada

y ' ' = e x a - e - x a 2 ' = 1 a e x a + 1 a e - x a 2 = e x a + e - x a 2 a

O numerador tem uma soma de exponenciais, então é positivo.

O denominador tem 2 a e pela definição da equação da catenária, esse a é positivo, logo o denominador também será positivo.

Então temos a divisão de dois números positivos, que é positivo.

Terminamos com

y ' ' > 0

Para qualquer valor de x . Assim, ela sempre será côncava para baixo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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