Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Prove que a função tangente hiperbólico é contínua e crescente em todo o seu domínio.

Passo 1

Para provarmos isso, temos que lembrar que:

tanh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

E

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Dessa forma

tanh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

As funções exponenciais e x e e - x são continuas em todos os reais. A única situação que poderia dar problema com a continuidade no tangente hiperbólica seria ter o denominador sendo 0 . Mas ali temos a soma de duas exponenciais, ele nunca será 0 .

Então, como temos uma fração de funções contínuas com o denominador nunca sendo 0 , ela vai ser contínua.

Passo 2

Para mostrarmos que ela é crescente basta analisarmos o sinal da derivada

tanh ⁡ x ' = e x - e - x e x + e - x '

Para isso vamos usar a regra do quociente

tanh ⁡ x ' = e x - e - x e x + e - x ' = e x - e - x ' e x + e - x - e x + e - x ' e x - e - x e x + e - x 2

tanh ⁡ x ' = e x + e - x e x + e - x - e x - e - x e x - e - x e x + e - x 2

tanh ⁡ x ' = e x + e - x 2 - e x - e - x 2 e x + e - x 2

Usando o produto notável:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Vamos ter:

tanh ⁡ x ' = e x + e - x + e x - e - x e x + e - x - e x - e - x e x + e - x 2

tanh ⁡ x ' = 2 e x 2 e - x e x + e - x 2

tanh ⁡ x ' = 4 e x + e - x 2

Aquele denominador é um número ao quadrado, logo sempre positivo. O numerado é 4 , positivo.

A divisão de dois números positivos é positivo, então a derivada de tangente hiperbólica é sempre positiva, o que faz com que a função seja sempre crescente.

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que a função seno hiperbólico é contínua e crescente em todo o seu domínio.
Prove que a função cosseno hiperbólico é contínua em todo o seu domínio, mas não é monótona. Ache os intervalos nos quais a função é crescente e onde é decrescente.
Prove que a catenária é côncava para cima em todo ponto.OBS: Equação da catenária y = a cosh ⁡ x a Pra um a > 0
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, de acordo com a equação de movimento s = e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t Onde s   c m é a distância orientada da partícula até a...
Dado x = sen - 1 ⁡ 3 5 e y = cos - 1 ⁡ - 4 5 , ache o valor exato de cada uma das seguintes funções: a cos ⁡ x ; b sen ⁡ y ; c tg ⁡ x ; d tg ⁡ y
Se x = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ , mostre que sec ⁡ θ = cosh ⁡ x .
Cada um os exercícios fornece um valor de s e n h x   ou c o s h x   . Utilize as definições e a identidade cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1 para determinar os valores das cinco funçõe...
Use as definições de cosh 2 ⁡ x - s e n h 2   x = 1
Ache o valor exato da quantidade dada: tg ⁡ 2 sen - 1 ⁡ - 24 25
Demonstre a identidade s e n h   - x = - s e n h   ( x )
Faça um esboço da função secante hiperbólica.Ache os extremos relativos da função, os pontos de inflexão, os intervalos nos quais o gráfico é côncavo para cima e para baixo.
Ache a área da região limitada pela caternária y = a cosh ⁡ x a , a > 0 , pelo eixo y , pelo eixo x e pela reta x = x 1 onde x 1 > 0