Enunciado

Prove que a função tangente hiperbólico é contínua e crescente em todo o seu domínio.

Passo 1

Para provarmos isso, temos que lembrar que:

tanh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

E

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Dessa forma

tanh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

As funções exponenciais e x e e - x são continuas em todos os reais. A única situação que poderia dar problema com a continuidade no tangente hiperbólica seria ter o denominador sendo 0 . Mas ali temos a soma de duas exponenciais, ele nunca será 0 .

Então, como temos uma fração de funções contínuas com o denominador nunca sendo 0 , ela vai ser contínua.

Passo 2

Para mostrarmos que ela é crescente basta analisarmos o sinal da derivada

tanh ⁡ x ' = e x - e - x e x + e - x '

Para isso vamos usar a regra do quociente

tanh ⁡ x ' = e x - e - x e x + e - x ' = e x - e - x ' e x + e - x - e x + e - x ' e x - e - x e x + e - x 2

tanh ⁡ x ' = e x + e - x e x + e - x - e x - e - x e x - e - x e x + e - x 2

tanh ⁡ x ' = e x + e - x 2 - e x - e - x 2 e x + e - x 2

Usando o produto notável:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Vamos ter:

tanh ⁡ x ' = e x + e - x + e x - e - x e x + e - x - e x - e - x e x + e - x 2

tanh ⁡ x ' = 2 e x 2 e - x e x + e - x 2

tanh ⁡ x ' = 4 e x + e - x 2

Aquele denominador é um número ao quadrado, logo sempre positivo. O numerado é 4 , positivo.

A divisão de dois números positivos é positivo, então a derivada de tangente hiperbólica é sempre positiva, o que faz com que a função seja sempre crescente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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7-19 Prove a indentidade15. senh ⁡ 2 x = 2 senh ⁡ x cosh ⁡ x
20. Se senh ⁡ x = 3 4 , encontre os valores das outras funções hiperbólicas em x .
20. Se tg h ⁡ x = 4 5 , encontre os valores das outras funções hiperbólicas em x .
7-19 Prove a indentidade18. 1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x
Ache o valor numérico para cada expressão. s e n h ⁡ ( 4 )