Enunciado

Cada um os exercícios fornece um valor de s e n h x   ou c o s h x   . Utilize as definições e a identidade cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1 para determinar os valores das cinco funções hiperbólicas remanescentes.

S e n h x = - 3 4

Passo 1

Se ligue que os outros valores que temos que descobrir é c o s h x ,     s e c h x ,     t g h x ,     c o s s e c h x ,     c o t g h x . Muita coisa né? Mas relaxa, a gente dá conta (literalmente hahahha).

Vamo lá! Vamo achar o cosseno hiperbólico que é ele que falta e dá origem às outras funções.

Da identidade cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1    

Temos que

cosh 2 ⁡ x = s e n h 2 x +   1     ⟹

cosh 2 ⁡ x = - 3 4 2 + 1 = 9 16 + 1   ⟹

cosh 2 ⁡ x = 25 16   ⟹

c o s h x = 5 4  

Passo 2

Vamos encontrar a tangente hiperbólica agora. Pela definição,

t g h x = s e n h x c o s h x

Substituindo os valores que já temos,

t g h x = - 3 4 5 4 =   - 3 4 ⋅ 4 5 =   - 3 5

Passo 3

Vamos encontrar a secante hiperbólica agora. Pela definição,

s e c h x = 1 c o s h x

Substituindo os valores,

s e c h x = 1 5 4   = 4 5

Passo 4

Vamos encontrar a cossecante hiperbólica agora. Pela definição,

c o s s e c h x = 1 s e n h x

Substituindo os valores,

c o s s e c h x =   1 - 3 4 =   - 4 3

Passo 5

Vamos encontrar a cossecante hiperbólica agora. Pela definição,

c o t g h x = c o s h x s e n h x

Substituindo os valores,

c o t g h x = 5 4 - 3 4   = 5 4 ⋅ - 4 3 =   - 5 3

Resposta

c o s h x = 5 4   , t g h x = - 3 5 , s e c h x = 4 5 , , c o s s e c h x =   - 4 3 , c o t g h x = - 5 3

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7-19 Prove a indentidade13. cotg 2 ⁡ x - 1 = cossech 2 ⁡ x
1-6 Encontre o valor numérico de cada expressão.3. (a)senh ⁡ ( ln ⁡ 2 ) (b) senh ⁡ ( 2 )
7-19 Prove a indentidade15. senh ⁡ 2 x = 2 senh ⁡ x cosh ⁡ x