Enunciado

  1. Prove que o conjunto dado é simplesmente conexo.a) Ω = ℝ2 - {(x, 0) ∈ ℝ2 | x ≥ 0}b) Ω = ℝ3 - {(0, 0, z) ∈ ℝ3 | z ≥ 0}(Sugestão: Verifique que o conjunto dado é estrelado.)

Passo 1

Antes de começarmos temos que saber que um conjunto simplesmente conexo segue essas regras

  1. D é aberto.
  2. D é conexo (isto é, dois pontos quaisquer de D podem ser ligados por uma curva contida em D).
  3. D é “sem buracos” (isto ´e, qualquer curva fechada de D delimita uma região inteiramente contida em D).

Passo 2

Nosso conjunto é

Ω   =   R 3   -   { ( 0 ,   0 ,   z )   ∈   R 3   |   z   ≥   0 }

Pode ser chamado de simplesmente conexo porque segue todas as regras acima. Ele é aberto e eu posso fazer uma curva e unir quaisquer pontos dentro do nosso espaço.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule c )∫ γ - y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2d y Onde γ :0,1 → R ² ² é uma curva C 1 por partes com imagem contida no semiplano y0 tal que γ 0 = 1,1 eγ 1 = - 2,3
Calcule f )∫ γ - y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2d y Onde γ t: 0,1 → R ² ² é uma curva C 1 por partes com imagem contida no conjunto Ω =x , y ∈ R 2 y0 }∪ x , y ∈ R 2 x0 }\γ ( 0 ) = ( 1,1 )eγ ( 1 ) = (- 1
Calcule b )∫ γ yd x + x 2d y Onde γ é uma curva cuja imagem é o segmento de extremidades (1,1) e (2,2) , orientada de (1,1) para (2,2)
Calcule d )∫ ( - 1,0 ) ( 1,0 ) x x 2 + y 2d x + y x 2 + y 2d y
10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t e