Enunciado

Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

f x = - 3 x em p = 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que a função f x = - 3 x é contínua no ponto p = 1 , usando a definição de continuidade.

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ (que é um número positivo), existe um δ , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ

Então, para a provar que a nossa função é contínua no ponto dado, vamos substituir a expressão que define a função junto com o valor de p nessa inequação e verificar se ela atende os requisitos da continuidade.

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo os valores na inequação f x - f p < ϵ , temos:

f x - f 1 < ϵ

- 3 x   - - 3   < ϵ

- 3 x + 3   < ϵ

Colocando - 3 em evidência:

- 3 x - 1   < ϵ

3 x - 1   < ϵ

Dividindo ambos os lados por 3 :

x - 1   < ϵ 3

Passo 3

Como todos os valores de x - 1   são menores que ϵ 3 , podemos substituir na primeira inequação, tomando δ = ϵ 3 :

x - p < δ

x - 1 < δ

x - 1 < ϵ 3

Assim, provamos a condição de continuidade:

x - 1 < δ   ⇒ f x - f 1 < ϵ

E, portanto, provamos que f é contínua em p .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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