Enunciado

Sabe-se que f é contínua em 2 e que f 2 = 8 . Mostre que existe δ > 0 tal que para todo x ∈ D f

2 - δ < x < 2 + δ ⇒ f x > 7 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que existe um δ > 0 tal que para todo x pertencente ao domínio da função, tenhamos:

2 - δ < x < 2 + δ ⇒ f x > 7

Além disso, ele nos diz que a função é contínua em 2 e que f 2 = 8 . Isso significa que a função está definida em 2 e que existe um limite igual ao valor da função nesse ponto, que é 8 .

Dessa forma, considerando esse ponto da função p = 2 , vamos usar a definição de função contínua para nos ajudar. Essa definição nos diz que para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 (dependendo de ε ), tal que, para todo x ∈ D f

p - δ < x < p + δ ⇒ f p - ε < f x < f p + ε

Então, vamos comparar essa definição com os dados que o enunciado nos deu e verificar se o resultado é o mesmo.

Vamos lá!

Passo 2

No nosso caso, como f é contínua em 2 , a definição de continuidade nos diz que para todo ε positivo, existe um δ positivo de modo que para qualquer x contido no domínio de f , se satisfaz a afirmação:

2 - δ < x < 2 + δ   ⇒ 8 - ε < f x < 8 + ε

Como a afirmação é verdadeira para qualquer valor de ε > 0 , então no caso específico de tomarmos ε = 1 temos:

2 - δ < x < 2 + δ   ⇒ 8 - 1 < f x < 8 + 1

2 - δ < x < 2 + δ   ⇒ 7 < f x < 9

Logo, existirá   δ > 0 tal que:

2 - δ < x < 2 + δ ⇒ f x > 7

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

2 - δ < x < 2 + δ ⇒ f x > 7

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