Enunciado

Explique por que a função é descontínua no número dado, esboce o gráfico da função.

f x = x 2 - x - 12 x + 3 ,         s e   x ≠ - 3 - 5 ,       s e   x = - 3                                                       a = - 3

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá a função:

f x = x 2 - x - 12 x + 3 ,         s e   x ≠ - 3 - 5               ,       s e   x = - 3

E pede pra a gente explicar porque ela é descontínua em x = - 3 .

Então primeiro de tudo, vamos relembrar que uma função é contínua num ponto, quando seu limite é igual ao seu valor naquele ponto:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

No caso aqui, o nosso ponto de interesse é a = - 3 e já temos da própria função que:

f - 3 = - 5

Então o negócio é calcular o limite nesse ponto, bora?

lim x → - 3 ⁡ f ( x )

Passo 2

Nessa função, se a gente substituir x = - 3 na primeira expressão, vamos achar uma indeterminação:

lim x → - 3 ⁡ x 2 - x - 12 x + 3 = 9 - - 3 - 12 - 3 + 3 = 0 0

Ent��o vamos ter que dar um jeito de sumir com a indeterminação pra calcular esse limite. E a fatoração é sempre uma manipulação matemática que a gente tem que cogitar, porque frequentemente ela é a nossa saída.

Repara que o numerador pode ser fatorado. Por Bashkara, encontramos suas raízes:

- - 1 ± ( - 1 ) 2 - 4 1 - 12 2 ∙ 1 = 1 ± 7 2

As raízes do numerador são x = 4 e x = - 3 , então sua forma fatorada fica:

x 2 - x - 12 = x + 3 ( x - 4 )

Portanto:

x 2 - x - 12 x + 3 = x + 3 x - 4 x + 3

AGORA PRESTA ATENÇÃO!

Toda vez que a gente vai cortar termos, a gente tem que checar se essa simplificação é válida, pois “cortar” termos iguais do numerador e do denominador significa dividir o numerador e o denominador por esse termo. Então pra que a gente possa fazer isso, é preciso que esse termo seja diferente de 0, pois não podemos fazer divisão por 0.

Pra função h x = x + 3 x - 4 x + 3 , não podemos cortar o ( x + 3 ) , pois esse termo fica nulo quando x = - 3 . Mas que bom que na nossa função da questão isso não acontece:

f x = x 2 - x - 12 x + 3 ,         s e   x ≠ - 3 - 5               ,       s e   x = - 3

Na nossa f ( x ) , quando x = - 3 , f x = - 5 e não igual a x 2 - x - 12 x + 3 .

Calma! Se isso foi confuso, tenta ler de novo com mais calma. Eu apenas estou explicando porque podemos cortar o ( x + 3 ) , porque as vezes não podemos!

Mas bem, vamos lá. Simplificando, nossa função vai ficar:

f x = x - 4 ,       s e   x ≠ - 3 - 5 ,       s e   x = - 3    

Ufa conseguimos! Agora, no passo 3, vamos calcular o limite que a gente falou la no passo 1.

Passo 3

Bom, relembrando, a função no ponto x = - 3 vale:

f - 3 = - 5

Agora queremos calcular o limite quando x → - 3 pra ver se ele é igual à função nesse ponto:

lim x → - 3 ⁡ f ( x ) = lim x → - 3 ⁡ x - 4 = - 7

Putz, são diferentes. Então se o limite da função num ponto é diferente do valor da função nesse ponto

l i m x → - 3 f x ≠ f ( - 3 )

Então a função é DESCONTÍNUA nesse ponto!

Passo 4

Por fim, vamos plotar o gráfico de:

f x = x - 4 ,       s e   x ≠ - 3 - 5 ,       s e   x = - 3    

y = x - 4 é uma reta com inclinação m = 1 e que cruza o eixo y no ponto y = 4 .

A única diferença dessa reta pra nossa função é o ponto em que x = - 3 .

Neste ponto, temos uma bolinha vazia na reta, pois f - 3 = - 5

Prontinho!

Resposta

(a) A função é descontínua nesse ponto, pois l i m x → - 3 f x ≠ f ( - 3 )

(b)

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Mostre que f é contínua em ( - oo , oo ) .f (x) = {[[s e n x , xpi // 4],[cos x , x = pi // 4]])
Use a continuidade para calcular o limite.underset(x - pi)(lim) s e n ( s e n x + x )
Use a continuidade para calcular o limite.underset(x - 4)(lim) (5 + sqrt(x))/(sqrt(5 + x))