Enunciado

Sejam f x = 1 / x e g x = 1 / x 2 .

  1. Determine ( f ∘ g ) ( x ) .
  2. É verdade que f ∘ g é continua sempre? Explique

Passo 1

Olá, querido estudante. Pronto para mais uma resolução? Então, aqui a gente tem duas funções, e de início nos é pedido para encontrarmos a função composta ( f ∘ g ) ( x ) , até aí tudo bem. Para fazer isso é simples, basta colocarmos a função g ( x ) no lugar do x na função f ( x ) .

Na letra b) a coisa muda um pouco de figura, ele nos pergunta se a função composta f ∘ g x é continua sempre.

Para que uma função seja continua, devemos ter:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Para todo o seu domínio.

Existe um teorema que irá nos ajudar, ele diz o seguinte:

Se g for contínua em a e f for contínua em g ( a ) , então a função composta f ∘ g dada por f ∘ g x = f ( g x ) é continua em a . Resumindo em miúdos “uma função continua de uma função continua, é uma função continua”

Passo 2

Começaremos o exercício encontrando ( f ∘ g ) ( x ) :

f g x = f 1 x 2 = 1 1 x 2

f ∘ g x = x 2

Agora iremos determinar se f ∘ g é contínua para qualquer número real.

O objetivo do exercício é verificar os pontos de continuidade da função f ∘ g x .

Lembramos que a função de composição f ∘ g x é contínua em   x   =   a   se e somente se a função g x é contínua em   x   =   a   e a função f x é contínua em g a .

Agora, observe que a função f x = 1 x é contínua em todos os lugares, exceto em   x   =   0   , pois não é definida em   x   =   0   , e da mesma forma, a função g x é contínua em todos os lugares, exceto em   x   =   0   .

Isso significa que a função f ∘ g x é contínua em todos os lugares, exceto em   x   =   0   .

Resposta

  1. f ∘ g x = x 2
  2. Sim. Ver o desenvolvimento.
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