Enunciado

Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico.

y = 1 1 + e 1 / x

Passo 1

O enunciado fornece uma função e pede para que localizemos as descontinuidades da função e esbocemos o seu gráfico.

y = 1 1 + e 1 / x

Então temos que descobrir pontos em que a função tem saltos ou que não está definida. Esses são os pontos de descontinuidade.

Uma boa dica é a gente usar as retrições de x e definir o domínio dessa função.

Além disso, vamos utilizar os teoremas mostrados na seção do livro (teoremas 4, 5, 7 e 9).

  • O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.
  • O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.
  • O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.
  • Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.
  • Passo 2

  • O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.
  • O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.

Pelos teoremas 5 e 7, e x e 1 / x são funções contínuas em seus domínios.

Então vamos achar seus domínios.

Na função exponencial e x , x pode assumir qualquer valor, então não há descontinuidade.

Já em 1 / x , o denominador da fração não pode ser 0. Então já temos uma descontinuidade em

x = 0

Passo 2

Assim, pelo teorema 9 (das funções compostas), e 1 / x também é contínua em seu domínio. E pelo teorema 4, a função 1 + e 1 / x é contínua em seu domínio.

Consequentemente, como a exponencial é sempre positiva, 1 + e 1 / x > 1 e, portanto, nunca se anula, y é uma função contínua em seu domínio.

Assim, devido ao termo 1 / x na exponencial, a única descontinuidade de y ocorre em

x = 0

Passo 3

Note no esboço do gráfico de y que a função realmente é descontínua em x = 0 .

Resposta

R: x = 0 .

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