2)

a) Prove que existe r > 0 tal que

cos x - 1 < sen x / x - 1 < 0

Para 0 < |x| < r .

b) Calcule lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x 2

Passo 1

a) Se por lei temos que para 0 < x < π 2 vale a relação cos ⁡ x < sen ⁡ x x < 1

podemos subtrair 1 em todos os termos para obtermos:

cos ⁡ x - 1 < sen ⁡ x x - 1 < 0

Então existe r > 0 que satisfaz a afirmação.

Passo 2

b) Para calcular o limite, podemos dividir o numerador e o denominador por x :

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ x x x

Se no item a provamos que cos ⁡ x - 1 < sen ⁡ x x - 1 < 0

Podemos multiplicar toda a inequação por - 1 :

0 < 1 - sen ⁡ x x < 1 - cos ⁡ x

Passo 3

Se dividirmos todos os termos por x temos dois casos, um para x positivo, e um para x negativo:

Para 0 < x < π 2 :

0 < 1 - sen ⁡ x x x < 1 - cos ⁡ x x

Para - π 2 < x < 0 :

1 - cos ⁡ x x < 1 - sen ⁡ x x x < 0

Assim, pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x < lim x → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ x x x < lim x → 0 ⁡ 0

Se lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0 :

0 < lim x → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ x x x < 0

Um número que está entre zero e zero, só pode ser zero.

Logo:

lim x → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ x x x = 0

Resposta

b) lim x → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ x x x = 0

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