Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula 3 : cotgh^(-1)(x) = 1 / 2 \* ln((x+1)/(x-1)) , |x| > 1

Passo 1

Vamos começar fazendo:

y = co tgh - 1 ⁡ x

Dessa forma,

x = co tgh ⁡ y

Lembrando que

co tgh ⁡ y = 1 tgh ⁡ y

E

tgh ⁡ y = e y - e - y e y + e - y

Vamos ter

cotgh ⁡ y = 1 e y - e - y e y + e - y = e y + e - y e y - e - y

Vamos chegar na expressão

x = e y + e - y e y - e - y

Passo 2

Vamos resolver essa equação exponencial, buscando o valor de y .

x = e y + e - y e y - e - y

x = e y + 1 e y e y - 1 e y

Fazendo e y = a , vamos ter:

x = a + 1 a a - 1 a

x = a 2 + 1 a a 2 - 1 a

x = a 2 + 1 a 2 - 1

x a 2 - x = a 2 + 1

a 2 x - 1 = x + 1

a 2 = x + 1 x - 1

a = ± x + 1 x - 1

Passo 3

Agora vamos fazer

a = e y

São duas equações:

e y = + x + 1 x - 1

e y = - x + 1 x - 1

Mas aquela segunda nunca vai ter solução, isso porque não existe valor de y que deixa a exponencial negativa.

Então vamos ter;

e y = x + 1 x - 1

Aplicando logaritmo natural dos dois lados

ln ⁡ e y = ln ⁡ x + 1 x - 1

y = ln ⁡ x + 1 x - 1

Lembrando que:

x + 1 x - 1 = v 1 2

Vamso ter

y = ln ⁡ x + 1 x - 1 1 2

Usando as propriedades de log

y = 1 2 ln ⁡ x + 1 x - 1

Como fizemos y = cotg h - 1 ⁡ x , vamos ter

cotg h - 1 ⁡ x = 1 2 ln ⁡ x + 1 x - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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