Enunciado

Use os resultados dos exercícios 65 e 66 para provar que

lim x → 1 ⁡ x b - 1 x - 1 = b

Sugestão: Escreva

x b - 1 x - 1 = e b ln ⁡ x - 1 b ln ⁡ x b ln ⁡ x x - 1

Então tome s = b ln ⁡ x e t = x - 1

Passo 1

Facinho com aquela sugestão né?hahahaha

Chocante como além da sugestão temos que olahr outros exercícios rs.

Vamos pegar primeiro os resultados dois outros dois exercícios, se é que isso vai ajudar.

lim x → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + x x = log a ⁡ e

E

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Uma bagunça de cada vez. Para usarmos a sugestão, temos que primeiro olhar que:

x = e ln ⁡ x

Pelas propriedades de log. E depis multiuplicar a fração do limite por b ln ⁡ x b ln ⁡ x , que é o mesmo que 1 , então não muda chongas.

Vamos ver como fica:

x b - 1 x - 1 = e ln ⁡ x b - 1 x - 1 b ln ⁡ x b ln ⁡ x = e b ln ⁡ x - 1 x - 1 b ln ⁡ x b ln ⁡ x

Podemos trocar a ordem no denominador e contrar o que ele disse.

x b - 1 x - 1 = e b ln ⁡ x - 1 b ln ⁡ x b ln ⁡ x x - 1

Mas até ai, chongas. Vamos ver como usar isso no próximo passo.

Passo 2

Colocando a expressão louca no limite, vamos ter:

lim x → 1 ⁡ e b ln ⁡ x - 1 b ln ⁡ x b ln ⁡ x x - 1

Pelas propriedades de limite, vamos ter:

lim x → 1 ⁡ e b ln ⁡ x - 1 b ln ⁡ x ∙ lim x → 1 ⁡ b ln ⁡ x x - 1

Vamos resolver os dois limites separadamente.

Passo 3

Primeiro

lim x → 1 ⁡ e b ln ⁡ x - 1 b ln ⁡ x

Fazemos

s = b ln ⁡ x

E quando x → 1 , vamos ter s → n ln ⁡ 1 = 0

Logo:

lim x → 1 ⁡ e b ln ⁡ x - 1 b ln ⁡ x = lim s → 0 ⁡ e s - 1 s

OOOOOPA, o exercício 66 diz que:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Entao esse limite vai ficar:

lim s → 0 ⁡ e s - 1 s = ln ⁡ e = 1

Delicia hahaha Vamos para o próximo

Passo 4

lim x → 1 ⁡ b ln ⁡ x x - 1

Aqui, vamos fazer

t = x - 1

Assim, x → 1 , teremos: t → 1 - 1 = 0 . Nosso limite vai ficar

lim t → 0 ⁡ b ln ⁡ t + 1 t

É QUAAAAASE o limite no 65

lim x → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + x x = log a ⁡ e

Basta dar aquele fora no b do limite

lim t → 0 ⁡ b ln ⁡ t + 1 t = b lim t → 0 ⁡ ln ⁡ t + 1 t = b log e ⁡ e = b

Passo 5

Nosso limite original vai ficar:

lim x → 1 ⁡ e b ln ⁡ x - 1 b ln ⁡ x b ln ⁡ x x - 1 = 1 ∙ b = b

Logo

lim x → 1 ⁡ x b - 1 x - 1 = b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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