Prove as igualdades:

a) 2 \* arctg(2/3) + arccos(12/13) = pi/2

b) 3 arc sen(1/4) + arc cos(11/16) = pi / 2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios anteriores, teremos:

Item b

Podemos reescrever a igualdade aplicando cosseno de ambos os lados da equação:

cos ⁡ 3 a r c   s e n 1 4 + a r c cos ⁡ 11 16 = cos ⁡ π 2

Fazendo:

α = a r c   s e n 1 4   e   β = a r c cos ⁡ 1 1 1 6

Teremos que:

α = a r c   s e n 1 4 = > s e n   α = 1 4   e   - π 2 ≤ α ≤ π 2

E:

β = a r c cos ⁡ 1 1 1 6 = > cos ⁡ β = 1 1 1 6   e   0 ≤ β ≤ π

A igualdade que desejamos provar pode ser reescrita novamente como:

cos ⁡ 3 α + β = 0

Passo 2

Desenvolvendo o termo da esquerda da igualdade, teremos:

cos ⁡ 3 α + β = cos ⁡ 3 α cos ⁡ β - s e n   3 α   s e n   β

Devemos obter a equação para:

cos ⁡ 3 α = cos ⁡ 2 α + α

Segue a dedução:

cos ⁡ 2 α + α = cos ⁡ 2 α ∙ cos ⁡ α - s e n   2 α ∙ s e n   α =

= cos 2 ⁡ α - s e n 2 α ∙ cos ⁡ α - 2 s e n α   c o s α ∙ s e n   α =

= cos 3 ⁡ α - s e n 2 α cos ⁡ α - 2 s e n 2 α cos ⁡ α = cos 3 ⁡ α - 3 s e n 2 α cos ⁡ α

Devemos obter também a equação para:

s e n   3 α = s e n   2 α + α

Segue a dedução:

s e n   2 α + α = s e n   2 α cos ⁡ α + s e n   α cos ⁡ 2 α =

= 2 s e n α   c o s α c o s α + s e n   α cos 2 ⁡ α - s e n 2 α =

= 2 s e n α cos 2 ⁡ α + s e n   α cos 2 ⁡ α - s e n 3 α

Logo, a igualdade que queremos provar é reescrita como:

cos ⁡ 3 α + β = cos ⁡ 3 α cos ⁡ β - s e n   3 α   s e n   β =

= cos 3 ⁡ α - 3 s e n 2 α cos ⁡ α cos ⁡ β - 2 s e n α cos 2 ⁡ α + s e n   α cos 2 ⁡ α - s e n 3 α s e n   β =

= cos 3 ⁡ α - 3 s e n 2 α cos ⁡ α cos ⁡ β - 3 s e n α cos 2 ⁡ α - s e n 3 α s e n   β = 0

Passo 3

Precisamos determinar o cosseno de α e o seno de β. Da relação fundamental da trigonometria, temos que:

cos ⁡ α = + 1 - s e n 2 α = 1 - 1 4 2 = 1 - 1 16 = 15 16 = 15 4

Temos também que:

s e n   β = + 1 - cos 2 ⁡ β = 1 - 1 1 1 6 2 = 1 - 1 21 256 = 135 25 6 = 3 15 1 6

Passo 4

Substituindo no lado esquerdo da igualdade:

cos 3 ⁡ α - 3 s e n 2 α cos ⁡ α cos ⁡ β - 3 s e n α cos 2 ⁡ α - s e n 3 α s e n   β =

= 15 4 3 - 3 1 4 2 15 4 ∙ 11 16 - 3 1 4 15 4 2 - 1 4 3 ∙ 3 15 16 =

= 15 15 6 4 - 3 15 6 4 ∙ 11 16 - 3 ∙ 15 6 4 - 1 64 ∙ 3 15 16 =

= 1 2 15 64 ∙ 11 16 - 44 64 ∙ 3 15 16 = 3 3 15 25 6 - 33 15 256 = 0

Logo, a igualdade está provada.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

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